第2章 连续动态

机械部件的运动通常可以用微分方程或者等价地用积分方程来建模。实际上该类模型仅对于“平滑”运动(通过采用线性、时间不变性和连续性等概念来使得这一描述更为精确)有良好的运行效果。

2.1 牛顿力学

• 一个屋里系统的模型由将输入信号与输出信号进行关联的微分或积分方程给出。

物理对象的空间云顶可以表示为六自由度，其中三个代表三维空间中的位置（x，y，z），另外三个表示空间中的方向：滚转角(roll)\theta _ { x }、偏航角(yaw)\theta _ { y }、俯仰角(pitch)\theta _ { z }。

由此，物理的空间位置就被辨识为形如f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R }的6个函数，其中定义域表示时间，到达域表示某个轴上的距离或者与该轴的夹角。

Q：如何理解到达域？（函数的值域是到达域的子集）

牛顿力学中：

• 位置是速度的积分，而速度是加速度（力）的积分，所以有：

\begin{eqnarray} x ( t ) &=& x ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \dot { x } ( \tau ) d \tau \ &=& x ( 0 ) + t \dot { x } ( 0 ) + \frac { 1 } { M } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \tau } F ( \alpha ) d \alpha d \tau \end{eqnarray}

• 方向是旋转速度的积分，而旋转速度是角加速度的积分，所以：
  \theta ( t ) = \theta ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \theta } ( \tau ) d \tau
  若该物体是球体：则上式可以进一步表达为：

\begin{eqnarray} \theta ( t ) &=& \theta ( 0 ) + \int _ { 0 } ^ { t } \dot { \theta } ( \tau ) d \tau \ & =& \theta ( 0 ) + t \dot { \theta } ( 0 ) + \frac { 1 } { I } \int _ { 0 } ^ { t } \int _ { 0 } ^ { \tau } T ( \alpha ) d \alpha d \tau \end{eqnarray}

2.2 参元模型

输入与输出分别为一组函数的方框单元被称为一个参元（actor）。

注：“参元”表示一个参与活动的对象模型或系统组件。

参元模型是可以组合的，eg：级联组合

2.3 系统特性

介绍参元及其组成的系统可能具有的一些特性

2.3.1 因果系统

如果一个系统的输出仅依赖于当前及过去的输入，那么这个系统就是因果关系的。

如果两个可能的输入x_{1}和x_{2}直到（且不包括）时间\tau都相同，且直到（且包括）时间\tau其输出也都相同，那么该系统就是严格因果的

严格因果关系系统在t时刻的输出并不依赖t时刻的输入，而是仅依赖于之前的输入。

eg： 积分器参元具有严格的因果关系，加法器参元不是严格因果的，但它是因果的。

2.3.2 无记忆系统

如果一个系统的输出不仅依赖当前输入，还同样依赖于之前的输入（或者之后的输入，如果系统不是因果的），那么该系统就是有记忆的。

一个时间连续系统S:X\rightarrow Y，在集合A、B上有X={A}^{\mathbb{R}}以及Y={B}^{\mathbb{R}}。形式化地，如果存在一个函数f:A\rightarrow B，对于所有的x\in X和t \in \mathbb {R},

(S(x))(t)=f(x(t))

那么该系统就是无记忆的。

Q：积分器是无记忆的，加法器是有记忆的，如何理解？

注：如果一个系统具有严格因果关系，且是无记忆的，那么对于任何输入，其输出都是恒定的。

2.3.3 线性与时不变性

考虑一个系统S:X \rightarrow Y，X和Y是信号集合，若满足如下叠加（superposition）特性，那么该系统就是线性的。

\forall x_{1},x_{2} \in X且 \forall a ,b \in \mathbb{R} , S(ax_{1}+bx_{2})= aS(x_{1})+bS(x_{2})

为了定义时不变性，先定义一个特定的时间连续参元，称之为延迟。令D_{\tau}:X \rightarrow Y （X、Y均为时间连续信号）以下式来定义。

\forall x \in X 且\forall t \in \mathbb{R},(D_{\tau}(x))(t)=x(t-\tau)

这里，\tau是延迟参元的一个参数。如果满足如下条件，系统S:S \rightarrow Y就是时不变的。

\forall x \in X 且\forall \tau \in \mathbb{R},S(D_{\tau}(S(x))=D_{\tau}(S(x))

线性时不变系统（LTI）是一个同事具有线性和时不变特性的系统。如果一个合理的近似可以生成一个LTI模型，这个近似就是有意义的。

2.3.4 稳定性

如果对于所有有界的输入信号，系统的输出信号都是有界的，那么就说这个系统是有界输入有界输出稳定的（即BIBO稳定，或简称稳定）。

2.4 反馈控制

反馈式系统具有一组有向环路，其中，参元的输出又反向回馈到其输入端。误差为期望行为和实际行为之间的差异。

矫正信号通常只能影响未来的误差，因此反馈式系统一般都必须在每一个有向环路中至少包含一个严格因果关系的参元。

Q：如何理解此处的“至少”？如果不包含严格因果关系的参元会怎样？

2.5 小结

可以对一个系统使用多个模型，而且这些模型与锁建模的系统是有区别的。一个模型的逼真度（近似于所建模系统的程度）是关系到任何工程计划成功与否的重要因素。