共轭函数是最优化问题中非常重要的概念，常用来在原问题和对偶问题之间进行转换。
定义
对于原函数%2C%20x%5Cin%20D)
，其共轭函数为
%3D%5Csup_%7Bx%5Cin%20D%7D%5Cleft(%3Cy%2C%20x%3E-f(x)%5Cright))
其中，
表示两个变量的内积。
注意，这个的共轭函数的定义域要求对)
有上界。即，共轭函数的值不能无穷大。
几何意义
对于共轭函数的每一个自变量
，其取值相当于一条直线与原函数之差的最大值：%3D%5Csup_%7Bx%5Cin%20D%7D%5Cleft(l(x)-f(x)%5Cright))
这条直线%3D%3C%5Chat%7By%7D%2C%20x%3E)
，其斜率由
决定。
两条曲线之差随着
变化，其最大值可以对求导得到： )%7D%7B%5Cpartial%20x%7D%3D0%20%5CRightarrow%20f'(x)%3Dy)
即：曲线斜率与直线斜率相同处的，能够得到最大值。
带入满足条件的x，即可得到共轭函数。
例子
原函数（Negative entropy）：%3Dx%5Clog%20x%2C%20x%3E0)
原函数为增函数。
对于
，)
为减函数。则%E2%88%92f(x))
为减函数，不超过其在零点取值。
对于
，也是增函数%2Ff(x)%3D%5Clim_%7Bx%20%5Crightarrow%5Cinfty%7Dl'(x)%2Ff'(x)%3D%5Clim_%7Bx%20%5Crightarrow%5Cinfty%7Dy%2F(%5Clog%20x%2Bx)%3D0)
增速小于)
增速，故其差有上界。
故，)
的定义域为
。
找到最大值处的表达式：
代入共轭函数：%3Dye%5E%7By-1%7D-e%5E%7By-1%7D(y-1)%3De%5E%7By-1%7D)
参考：
