怎样解二次函数在区间上的最值问题

求二次函数最值问题

分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，它在人类的思维发展中起着重要的作用. 分类讨论思想实际上是一种化整为零、化繁为简、分别对待、各个击破的思维策略在数学解题中的运用. 二次函数在闭区间上最值问题在高考各省市的考题中经常出现，由于二次函数分类讨论参变量取不同的值时，可引起函数性质的变化，因此研究二次函数在区间上的最值问题常见处理方法是有必要的.

解题步骤：

第一步 通过观察函数的特征，分析二次函数的表达式中是否具有参数，且参数的位置在什么位置；

第二步 通过讨论二次函数的对称轴和已知区间之间的关系进行分类讨论；

第三步 根据二次函数的图像与性质可判断函数在区间上的单调性，并根据函数的单调性求出其最值；

第四步 得出结论.

【例】已知函数y=f(x)是二次函数，且满足f(0)=3，f(-1)=f(3)=0

（1）求f(x)的解析式；

（2）若x \in [t,t+2]，试将y=f(x)的最大值表示成关于 t 的函数g(t)．

【解析】

（1）由题可设f(x)=a(x+1)(x-3)，

又f(0)=3，得a＝-1，

得f(x)=-x^2+2x+3

（2）由（1）知，f(x)的对称轴为x_0=1，

①若t \geqslant1，

则y=f(x)在[t,t+2]上是减函数，

y_{max}=f(t)=-t^2+2t+3

②若t+2 \leqslant1，即t \leqslant -1，

则y=f(x)在[t,t+2]上是增函数，

y_{max}=f(t+2)=-t^2-2t+3

③若t<1<t+2，即-1 < t <1，

则 y_{max}=f(1)=4

故 g(t)=\begin{cases}-t^2-2t+3,&t\leqslant -1 \\4,&-1<t<1\\-t^2+2t+3,&t\geqslant 1\end{cases} .

【点评】

（1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；

（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．

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