疫情在家，试着在网上开了一次讨论班，当然还是面对面的交流比较方便，不过即使是在线上似乎还是能激起大家一些好的讨论的。在winter school 听了Yamazaki桑的相关工作的lecture，特别的感兴趣，虽然这部分的工作之前也有些了解，不过听他本人来讲，感觉又是很不一样。而且最近又有了新的发展，可以用他们的4D gauge theory来构造2D的经典可积场论。这个工作，Yamazaki桑在课上讲了一点，我在课下也问了他一点，和他的合作者Castello的学生（碰巧也来参加winter school）讨论了一下，在家里自己仔细看了几遍，比我想象得有趣很多。
因为有没有去winter school的同学，所以还是先总结了一下课上的内容：“Gauge theory and Integrability I”, 也就是介绍这个特殊的Gauge theory 还有构造的基本逻辑，还有就是从4D theory角度对可积性的解释还有图像理解。
首先要解释一下“构造”可积理论是什么意思？
在I II 的工作里，是构造了可积的lattice theory。构造的的意思就是说，可以用4D 的规范场微扰去算R-matrix，也就是解Yang-Baxter方程的解，Yang-Baxter方程的解定义了一个可积的lattice model。
在III 的工作里，是构造可以2D 经典场论。构造的意思是说，可以从4D guage theory出发，然后通过加入surface defects, 积掉额外的2维还有规范场后得到的2D有效理论等价于一个可积的场论，并且Lax equation可以直接从4D的理论直接得到，不需要任何猜测。
Brief review of I
用原文的话就是他们用4D gauge field theory的语言重新推导了Drinfeld 对Yang-Baxter 方程的解的分类。所以这里考虑的R-matrix是quasi-classical的，也就是存在一个parameter（小量），R-matrix可以根据其进行展开，first order 一般就成为classical r-matrix。
这个4D gauge field theory 定义的4维空间可以写成一个2维实空间（一般是R^2）和一个黎曼面(有complex structure 的一维复流形, 在其上存在一个holomorphic 1-form)的乘积。在2维实空间，理论是topological的，在黎曼面上是holomorphic的（虽然是4维场论，但是guage field 只有3个分量 所以可以定义一个Chen-Simons action）。
构造这个理论的一个motivation是这样的。我们知道Yang-Baxter 方程（可积理论）和knot理论有是有联系的，而knot理论和一个topological field theory 是有联系的，所以可以想到，可积理论应该是可以和一个topological field theory关联起来的。
对于可积理论，可以认为粒子间的相互作用（或者lattice的一个格点）对应了一个R-matrix (2 to 2 S-matrix)。Yang-Baxter 方程可以理解成一种结合律，即改变相互作用的顺序是不改变结果的。
在4D gauge field theory里面这样的一个R-matrix 对应了两个垂直相交的Wilson lines的expectation value。因为Wilson lines之间没有直接的相互作用，所以经典下（tree level）的值就是 1，1 当然是YBE的trivial的解。下面考虑量子修正，即Wilson lines间通过传递一个gluon(gauge field)发生相互作用，这个修正就给出classical r-matrix(1-loop correction)。要算这个修正，我们要求guage field theory的propagator，而这个propagator的具体形式依赖于黎曼面还有其上的holomorphic 1-form的选取。我们知道Drinfeld的分类结果：rational, trigonometric, elliptic，分别对应了 复平面（g=0）, 黎曼球 （g=0）,torus (g=1)。有了propagator就能微扰地一阶一阶去求量子修正，也就是R-matrix了，并且坐标z自动称为了R-matrix的spectral parameter.
拓扑理论的gauge invariant 的operator 就是Wilson line, 定义Wilson line的时候，要选取规范对称g的一个representation。但是因为我们只允许Wilson line存在在2维空间里，并且 没有z 分类，所以我们用 A对z 的n 次导数构造 新的Wilson line (gauge invariant operator)，加上这些新的Wilson line，所有的wilson line 构成了一个无穷维代数 g[[z]]的表示。g[[z]] 的 enveloping algebra u(g[[z]])的在考虑量子修正后，会被deform成Yangian！可积性的另一个标志。在II 里面这个fact 被仔细研究了。
最后一个特点是framing anomaly。就是如果考虑当Wilson line 弯曲的时候，在求这个弯曲 wilson line的量子修正的时候，这个修正等效的会使Wilson line的z 的坐标发生一个平移。所以似乎闭合的wilson line (wilson loop)是没有好定义的。
以上就是一个基本背景和逻辑，下面我们来用同样的4d gauge field theory 来构造2d可积场论
Engineer classical 2d field theory by adding surface defects.
在III 中，是通过加入surface defects 来实现这一点的。也分为两种情况：order defect 和 disorder defect。这次是讲的order defect的情况，但是更有意思的更丰富的是下次准备继续讲的disorder defect的情况。
order defect的情况比较直观。就是在2维实空间直接加入一些2维的场论（不一定要求可积）, 这些场论在黎曼面里对应了不同的点。要求这些理论要可以和gauge field 相互作用，换句话来说，就是要求这些理论具有一个和规范对称群一样的global symmetry。不同的二维场论通过交换gluon发生相互作用，所以当我们把黎曼面还有gauge field 都积掉后，就得到一个2维的有效理论（并不是简单的两个场论的直合）。这个有效理论的Lax connection可以就是由在二维实空间上的规范场（4维规范场在2维时空间的分量，是一个1-form）直接得到。因为4D gauge field theory的运动方程，这个1-form是flat的，然后积掉黎曼面和guage field 之后，就得到了一个2维的1-form, 就是之前得到的2维有效理论的Lax connection! 这里要做一个说明，这里的4D 1-form 是定义在 defects（boundaries）之外的（bulk ）里, 这个情况类似与在研究duality的时候，我们couple 一个D维的场论一个D+1 维的guage theory。
有了Lax connection 我们就可以定义monodromy然后构造无穷多的守恒量。在4D理论里面这些守恒量有一个很好的图像！如果我们先不积掉gauge field, 这个monodromy其实就wilson line, 因为在wilson line是拓扑的，所以我们自由移动的而不改变他的值，这些symmetry就是对应了无穷多的守恒量！
接下来是一些简单的例子。比如考虑加入2维费米场，可以构造出Gross-Neveu 和 Thirring model。加入beta-gamma 场，可以构造定义在kahler manifold上的sigma model，比如CP1 model。如果我们选取gauge symmetry 是sl2，并且r-matrix选择 rational的，那么就直接得到CP1 model。有意思的是，我们也可以选trigonometric 的解，这样得到一个deformd CP1，发现是sausage model! 考虑elliptic 的解，得到一个更复杂的deformed CP1 model.
