运算小技巧

运算定律

加法

加法交换律: $a + b = b + a$

加法结合律: $a + b + c = a + ( b + c )$

乘法

乘法交换律: $a \times b = b \times a$

乘法结合律: $a \times b \times c = a \times ( b \times c )$

乘法分配律: $a \times ( b + c ) = a \times b + a \times c$

完全平方公式

两项和差: $( a \pm b )^2 = a^2 \pm 2ba + b^2$

三项和: $( a + b + c )^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

完全立方公式

两项和差: $( a \pm b )^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$

平方差公式

$a^2 - b^2 = ( a + b )( a - b )$

立方和差公式

立方和: $a^3 + b^3 = ( a + b )( a^2 - ab + b^2 )$

立方差: $a^3 - b^3 = ( a - b )( a^2 + ab + b^2 )$

减、除法性质

减法

减法性质: $a - b - c = a - ( b + c )$

除法

除法性质: $a \div b \div c = a \div ( b \times c )$

特殊数运算

$25 \times 4 = 100$

$125 \times 8 = 1000$

$625 \times 16 = 10000$

先化简, 再求值!

将算式简单化, 使计算更简单, 更省力

化简方法

合并同类项

因式分解

例: $已知x=10, 求: -x^3 + 2x^2 + 5x + 2x^3 - x^2 - x^3 - x^2 - 5x + 10$

解: $-x^3 + 2x^3 - x^3 + 2x^2 - x^2 - x^2 + 5x - 5x + 10 = 0 + 10 = 10$

例: $已知x=10, 求: x^2 + 2x + 1$

解: $( x + 1 )^2 = ( 10 + 1 )^2 = 121$

以上都是正儿八经的算法, 接下来看看我本人的巧妙算法吧!

加法

加上负的, 就相当于减去正的

例 $3 + ( -4 ) = 3 - 4$

这样就换成了小学的算是

加上正的, 就还相当于加上正的

例 $3 + ( +4 ) = 3 + 4$

减法

减去负的, 就相当于加上正的

例 $3 - ( -4 ) = 3 + 4$

减去正的, 就还相当于减去正的

例 $3 - ( +4 ) = 3 - 4$

乘法

连乘的情况下数负号:偶数个负号,答案为正;奇数个负号,答案为负。其它全部绝对值相乘

例 $(-3) \times 2 \times (-4) \times (-2) \times (-1)$

四个负号, 答案为正

$= +(3\times2\times4\times2\times1)$

$= 48$

除法

连除的情况下数负号:偶数个负号,答案为正;奇数个负号,答案为负。其它全部绝对值相除

例 $(-4) \div 2 \times (-8) \div (-1) \div (2)$

三个负号, 答案为负

$= -(4\div2\div8\div1\div2)$

$= -\frac{1}{8}$