导数法求函数的值域

方法十导数法

导数法求函数的值域

解题步骤：
第一步 利用函数的导数求函数在定义域内的单调性；
第二步 利用函数的单调性求出函数的值域.

例函数 $f(x)={{x}^{3}}$ ， $x\in [0,2]$ ，则 $f(x)$ 的值域.

解析：
在区间 $\left[ 0,2\right]$ 上， $f'(x)=3x^2>0$
$\therefore f(x)$ 在 $[0,2]$ 上是增函数，
$\therefore 0\leqslant {{x}^{3}}\leqslant 8$ ，
$\therefore 0\leqslant f(x)\leqslant 8$ ,
故 $f(x)$ 的值域 $[0,8]$ .

变式
求函数 $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{e}^{x}}\left( \sin x+\cos x \right)$ 在区间 $\left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ 上的值域.

解析：在区间 $\left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ 上， $f'\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{e}^{x}}\left( \sin x+\cos x \right)+\dfrac{1}{2}{{e}^{x}}(\cos x-\sin x)={{e}^{x}}\cos x\geqslant 0$ ，
所以 $f\left( x \right)$ 单调递增， $f\left( 0 \right)=\dfrac{1}{2}$ ， $f\left( \dfrac{\pi }{2} \right)=\dfrac{1}{2}{{e}^{\frac{\pi }{2}}}$ ，
所以函数 $f\left( x \right)=\dfrac{1}{2}{{e}^{x}}\left( \sin x+\cos x \right)$ 在区间 $\left[ 0,\dfrac{\pi }{2} \right]$ 上的值域为 $[\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}{{e}^{\frac{\pi }{2}}}]$

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