问题的描述

RSEM 是典型的基于转录本定量的方法，它的比对需要下载参考转录本的fa序列，与基因组比对不同，转录本比对往往是一个基因对应多个转录本序列，因此相同基因的不同转录本之间有很大的overlap

如上图所示，当reads比对到这些isoform的overlap区，如何确定每个isoform上的reads数呢？换句话来说有的reads可以mapping到isoform 1上，而有一些可以mapping到isoform 2上，所以需要解决的问题是确定isoform 1和isoform 2上reads的相对比例

类比双硬币模型来理解RSEM

假设在已知reads可以mapping到isoform的条件下， reads mapping到 isoform 1的概率是 θ1 ；而在已知reads可以mapping到isoform的条件下， reads mapping到 isoform 2的概率是 θ2（针对于 isoform 1 和 isoform 2 的overlap区）

假设我们一共有5组观测值，每组10个值，并且我们所观测到的值只是是否mapping到isoform上，而并不清楚是mapping到 isoform 1 还是 isoform 2 上，并且mapping到 isoform 上了的用 Y 表示，没有mapping上的用 N 表示：

step 1

随机设定初始值，θ1=0.6，θ2=0.5，假设在已知reads可以mapping到isoform的条件下， reads mapping到 isoform 1的概率是 θ1 ；而在已知reads可以mapping到isoform的条件下， reads mapping到 isoform 2的概率是 θ2（针对于 isoform 1 和 isoform 2 的overlap区）

step 2

对于第一组数据，设某reads分配给 isoform 1 的概率为0.45，记为p1：

其中，指数 θ₁⁵ 5次方代表有5条reads mapping到 isoform 1 上；那么某reads分配给 isoform 1 的概率为0.45（分配但不一定mapping）； (1-θ₁)⁵ 代表有5条reads 没有 mapping 到 isoform 1 上 。同理可理解 θ₂

那么，该reads分配（分配但不一定mapping）给 isoform 2 的概率为0.55，记为p2
这里的"分配"作为隐含变量，在实际的意义中可以表示start position 等一些潜在变量，分配可以这样理解，reads会分配给isoform 1（或isoform 2），分配完成后会有两种可能性，一种是mapping到该isoform上，另一种是没有mapping到该isoform上

其中，指数 θ₁⁹ 9次方代表有5条reads mapping到 isoform 1 上；那么某reads分配给 isoform 1 的概率为0.8（分配但不一定mapping）； (1-θ₁)¹ 代表有1条reads 没有 mapping 到 isoform 1 上 。同理可理解 θ₂

同理，依次计算第3到第5组：

step 3

由step 2计算的第一组，reads分配给isoform 1（isoform 2）的概率为p1=0.45（p2=0.55）

那么对于第一组的 isoform 1 ：
mapping：5 × 0.45 = 2.25（mapping 到 isoform 的有5条reads，其中有2.25条分配给 isoform 1）； unmapping： 5 × 0.45 = 2.25（没有mapping 到 isoform 的也有5条reads，其中有2.25条分配给 isoform 1）

对于第一组的 isoform 2 ：
mapping：5 × 0.55 = 2.75（mapping 到 isoform 的有5条reads，其中有2.75条分配给 isoform 2）； unmapping： 5 × 0.55 = 2.75（没有mapping 到 isoform 的也有5条reads，其中有2.75条分配给 isoform 2）

同理对于第二组：
那么对于第二组的 isoform 1 ：
mapping：9 × 0.8 = 7.2（mapping 到 isoform 的有9条reads，其中有7.2条分配给 isoform 1）； unmapping： 1 × 0.8 = 0.8（没有mapping 到 isoform 的也有1条reads，其中有0.8条分配给 isoform 1）

那么对于第二组的 isoform 2 ：
mapping：9 × 0.2 = 1.8（mapping 到 isoform 的有9条reads，其中有1.8条分配给 isoform 2）； unmapping： 1 × 0.2 = 0.2（没有mapping 到 isoform 的也有1条reads，其中有0.2条分配给 isoform 2）

并且依次计算第3-5组的：

e.g：
以第三组为例：
对于第三组的 isoform 1 ：
mapping：8 × 0.73 = 5.86（mapping 到 isoform 的有8条reads，其中有5.86条分配给 isoform 1）； unmapping： 2 × 0.73 = 1.47（没有mapping 到 isoform 的有2条reads，其中有1.47条分配给 isoform 1）
对于第二组的 isoform 2 ：
mapping：8 × 0.27 = 2.13（mapping 到 isoform 的有8条reads，其中有2.13条分配给 isoform 2）； unmapping： 2 × 0.27 = 0.53（没有mapping 到 isoform 的有2条reads，其中有0.53条分配给 isoform 2）

step 4

重新定义θ1 和 θ2
θ1 = 21.30 / (21.30 + 8.57) =0.713；θ2 = 11.70 / (11.70+8.43) =0.581

将重新定义的θ1 和 θ2返回step 1—step 4，直至算法收敛，即θ1 和 θ2收敛，那么θ1 和 θ2就分别代表 isoform 1 和 isoform 2 的表达量

假设在已知reads可以mapping到isoform的条件下， reads mapping到 isoform 1的概率是 θ1 ；而在已知reads可以mapping到isoform的条件下， reads mapping到 isoform 2的概率是 θ2（针对于 isoform 1 和 isoform 2 的overlap区）。换句话说，当有1条 reads mapping 到对应位置，那么有 θ1 条来自于 isoform 1，有 θ2 条来自于 isoform 2