姓名：赵健宇 学号：21021210853 学院：电子工程学院
原文转自：https://blog.csdn.net/u014446042/article/details/81323197
【嵌牛导读】在Guass 关于内蕴几何研究的启发下，Riemann认识到作为几何学的基本假设。
【嵌牛鼻子】微分几何
【嵌牛提问】微分几何中流形的概念？
【嵌牛正文】
在Guass 关于内蕴几何研究的启发下，Riemann认识到作为几何学的基本假设，应当将拓扑性质和空间度量性质区别开来，Riemann、Levi、Civita等人在Riemann度量的发展起到重要作用，Riemann提出为每条曲线提供长度的方法，首先为流形上的切向量指定长度，然后沿着曲线积分来定义曲线长度。在Riemman几何中，Levi-Civita平行移动的概念提出对几何发展起到重要作用。它发展为后续的联络以及向量丛上的联络。
在向量空间V中，考虑函数，如果它满足下面两个条件就称为向量V的内积
1. 对称性 ：
2. 非负性：，等号成立当且仅当
内积的作用就是可以定义长度、角度，有了长度角度应用叉积可以定义面积，它可以把欧式空间长度推广至曲面上，接着我们可以定义RIemann度量。从Riemann 度量从发 定义联络然后是 曲率
定义：设是维光滑流形，是上的二阶协变张量场或者称型张量场，如果是对称，正定的，称是上的一个Rimann度量。指定了Riemman度量的光滑流形，称为，记为,简记为。
假设正则曲线方程为，切向量的长度按内积定义
有了长度在定义切向量之间的角度：
图1 曲面参数
设曲面的参数方程为，则坐标的切向量为
如果处处有，则称为。
图2 曲面参数
切向量
dr=(∂r∂udu,∂r∂vdv)=(rudu，rvdv)
法向量
n=ru×rv|ru×rv|
通过叉积使用长度、角度定义微元面积
定义第一基本形式：
这是一个关于du,dv的二次型，整理成矩阵形式：
记
称为度量矩阵。上述计算的微元面积可简化为：
考虑微分流形M上的两个开集，如下图所示，它满足,相交非空，设的局部坐标为度量为；的局部坐标是，度量为。它们满足坐标变换。，相应地微分形式满足变换:
这里写图片描述
图3 流形M上的坐标变换
在 A与B相交的区域，它的基本形式I不依赖于坐标选取，所以有：
[dxdy]⋅ρ⋅[dxdy]=[dudv]⋅g⋅[dudv]
进一步把微分形式变换带入就有：
[dxdy]⋅ρ⋅[dxdy]=[dxdy]⋅[uxvxuyvy]T⋅g⋅[uxvxuyvy]⋅[dxdy]
所以
ρ=[uxvxuyvy]T⋅g⋅[uxvxuyvy]
满足上述形式的度量称为在曲面上指定了Riemann 度量。
图4 向量内积
文中开头就介绍了内积定义，那是公理化的定义，现在考虑Riemann度量g定义的内积,假设某点的两个向量为 dr,δr，则 dr=(dx,dy)， δr=(δx,δy)
它们的内积表示为：
⟨dr,δr⟩=[dxdy]⋅ρ⋅[δxδy]
————————————————
