125. 背包问题 II

描述

给出n个物品的体积A[i]和其价值V[i]，将他们装入一个大小为m的背包，最多能装入的总价值有多大？

注意事项

A[i], V[i], n, m均为整数。你不能将物品进行切分。你所挑选的物品总体积需要小于等于给定的m。

样例

对于物品体积[2, 3, 5, 7]和对应的价值[1, 5, 2, 4], 假设背包大小为10的话，最大能够装入的价值为9。

挑战

O(n * m) memory is acceptable, can you do it in O(m) memory?

思路
在这个问题中，一件物品要么不选，要么选，正好对应于 0-1 两个状态，所以我们一般把形如这样的背包问题称作 0-1 背包问题

代码

1. 暴力解法，枚举出所有可能性，本题是 0-1 背包问题，所以对于 n 个背包有 2^n 种可能性，计算每种可能性下背包中物品的价值，最后要检查每种可能性是否满足题目要求，在所有满足要求的可能性中选择价值最大的

public class Solution {
    /**
     * @param m: An integer m denotes the size of a backpack
     * @param A: Given n items with size A[i]
     * @param V: Given n items with value V[i]
     * @return: The maximum value
     */
    public int backPackII(int m, int[] A, int[] V) {
        int n = A.length;
        int limit = 1 << n;
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < limit; i++) {
            // tA 表示背包中所有物品的体积, tV 表示背包中所有物品的价值
            int tA = 0;
            int tV = 0;
            // j 的目的是用来从低位到高位来检查当前位代表的物品是否被选取
            for (int j = 0; j < n; j++) {
                if ((i >> j) % 2 == 1) {
                    tA += A[j];
                    tV += V[j];
                } 
            }
            if (tA <= m && tV > ans) {
                ans = tV;
            }
        }
        
        return ans;
    }
}

2. 贪心法。显然价值越大体积越小的物品单位价值最高，我们将物品按 P[i] = val[i] / cap[i]P[i]=val[i]/cap[i] 从大到小排序，再依次将物品装入背包，直到无法将物品装入背包为止。但这种方法得出的结果是错的

3. 用滚动数组和一维数组优化过的动态规划解法

public class Solution {
    public int backPackII(int m, int[] A, int[] V) {
        int n = A.length;
        int[] f = new int[m + 1];
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            for (int j = m; j >= A[i]; --j) {
                f[j] = Math.max(f[j], f[j - A[i]] + V[i]);
            }
        }
        return f[m];
    }
}