数列与级数

等差级数（arithmetic series）

等差数列的前n项和称为一个等差级数，也称算术级数。例：1,3,5,7,9为一个等差数列，而1+3+5+7+9则为一个等差级数。

$\sum_{n=1}^{m} n= \frac{m\times (m+1)}{2}$
推导：
$S=\sum_{n=1}^{m} n= 1+2+3+...+(m-1)+m$
$S=m+(m-1)+...+3+2+1$
$2S=(m+1)+(m+1)+...+(m+1)=(m+1)\times m$
$S=\frac{(m+1)\times m}{2}$
$\sum_{n=1}^{m} n= 1+2+3+...+(m-1)+m$

等比级数（geometric series）

等比级数，表示等比数列的前n项和，又称为几何级数。
$\sum_{k=0}^na^k = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$
推导：

$S=\sum_{k=0}^na^k = a^0+a^1+...+a^{n-1}+a^n$
$aS=a^1+a^2+a^3+a^n+a^{n+1}$
$aS-S=-a^0+a^{n+1}=a^{n+1}-1$
$S(a-1)=a^{n+1}-1$
$S=\frac{a^{n+1}-1}{a-1}$
$S=\sum_{k=0}^na^k = \frac{a^{n+1}-1}{a-1}$

无穷级数

只有当值是收敛时，无穷级数的结果才是有限的。
$\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^n = \frac{\frac{1}{2}^{n+1}-1}{\frac{1}{2}-1}$
$\lim\limits_{n\to\infty}= \frac{\frac{1}{2}^{n+1}-1}{\frac{1}{2}-1} =\frac{0-1}{-0.5} =2$
所以：
$\sum_{k=0}^\infty (\frac{1}{2})^n =2$

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