决策树：决策树是一个预测模型，他代表的是对象属性与对象值之间的一种映射关系。Entropy(熵) = 系统的凌乱程度，使用算法ID3, C4.5和C5.0生成树算法得出熵，这一度量是基于信息学理论中熵的概念。决策树是一种树形结构，其中每个内部节点表示一个属性上的测试，每个分支代表一个测试输出，每个叶节点代表一种类别。决策树是一种十分常用的分类方法，是一种监督学习。

判断是否适合外出的决策树

决策树的构造

在构造决策树时，我们需要解决的第一个问题就是，当前数据集上那个特征在划分数据分类时起决定性的作用。为了找到决定性的特征，划分出最好的结果，我们必须评估每个特征。完成测试之后，原始数据集就会被划分为几个数据子集。这些数据子集会分布在第一个决策点的所有分支上。如果某个分支下的数据属于同一类型，则已正确划分数据类型，如过不同，则需重复划分数据子集。划分数据子集的算法和原始数据相同，直到所有的节点都是同一类型为止。

信息增益

上面说到我们需要找到决定性的特征来划分出最好的结果，这也是决策树核心问题所在，那怎么确定这个最优特征呢？我们常用的方法就是用信息论中的信息增益来确定这个特征。

在划分数据集之前之后信息发生的变化叫做信息增益，知道如何计算信息增益，获得计算增益最高的特征就是最好的选择。

在1948年，香农引入了信息熵，将其定义为离散随机事件出现的概率，一个系统越有序，信息熵就越低，反之一个系统越混乱，它的信息熵就越高。所以信息熵可以被认为是系统有序化程度的一个度量。

熵定义为信息的期望值，既然是要算期望，就得先知道信息的定义。如果待分类的事件可能划分在多个分类之中，则事件(X_i)的信息定义为：

info(x_i) = -log₂p(x_i)

其中p(x_i)是选择该类别的概率。
为了计算熵，需要计算出信息的期望，即：(这里要吐槽一下简书，不支持MathJax，所以只能找图片替代公式)

信息期望

接下来以气象数据为例子，来说明决策树的构建过程：

在没有使用特征划分类别的情况下，有9个yes和5个no，当前的熵为：

计算熵

假设我们以 outlook 特征划分数据集，对该特征每项指标分别统计：在不同的取值下 play 和 no play 的次数：

此时各分支的熵计算如下：

各分支的熵

outlook划分后的总熵

最终的决策树(图片源自网络)

决策树代码实现

1. 计算香农熵

# 计算香农熵
def calShannonEntropy(dataSet):
    numEntries = len(dataSet)   # 数据总数
    labelCounts = {}
    for featureVect in dataSet:
        currentLabel = featureVect[-1]
        if currentLabel not in labelCounts.keys():
            labelCounts[currentLabel] = 0
        labelCounts[currentLabel] += 1
    shannonEnt = 0.0
    for key in labelCounts:
        probability = float(labelCounts[key]) / numEntries
        shannonEnt -= probability * log(probability, 2)
    return shannonEnt

2. 按照给定的特征划分数据集

# 划分数据集
def splitDataSet(dataSet, featureIndex, featureValue):
    newDataSet = []
    for featVec in dataSet:
        if featVec[featureIndex] == featureValue:
            reducedFeatVec = featVec[:featureIndex]
            reducedFeatVec.extend(featVec[featureIndex+1:])
            newDataSet.append(reducedFeatVec)
    return newDataSet

3. 选择最佳特征值划分数据集

def chooseBestFeatureToSplit(dataSet):
    numFeature = len(dataSet[0]) - 1
    baseEntropy = calShannonEntropy(dataSet)
    bestFeature = -1; bestInfoGain = 0
    for i in range(numFeature):
        featList = [entry[i] for entry in dataSet]  # 取出每一种属性
        uniqueValue = set(featList)  # 得到该属性有哪些值(用集合的方法去掉重复值)
        newEntropy = 0.0
        for value in uniqueValue:
            subDataSet = splitDataSet(dataSet, i, value)
            probility = len(subDataSet) / float(len(dataSet))
            newEntropy += probility * calShannonEntropy(subDataSet)
        infoGain = baseEntropy - newEntropy
        if infoGain > bestInfoGain:
            bestInfoGain = infoGain
            bestFeature = i
    return bestFeature

4. 投票决定不确定结果
如果数据集已经处理了所有属性，但是类标签依然不是唯一的，通常我们才有多数表决的方法决定该叶子节点的分类。

# 找出票数最多的标签
def majorityVote(classList):
    classCount = {}
    for vote in classList:
        if vote not in classList.keys():
            classCount[vote] = 0
        classCount[vote] += 1
    sortedClassCount = sorted(classCount.items(), key=operator.itemgetter(1), reversed=True)
    return sortedClassCount[0][0]

5. 创建决策树

def createTree(dataset, labels):
    # 取出位于最后一列的类别标签
    classList = [label[-1] for label in dataset]
    if classList.count(classList[0]) == len(classList):  # 类别完全相同时，停止划分
        return classList[0]  # 返回唯一特征值
    if len(dataset[0]) == 1:  # 已经遍历完所有特征，只剩最后一列类别标签
        return majorityVote(classList)  # 返回票数最多的类标签

    # 开始划分
    # 先选取最好的划分特征值
    bestFeature = chooseBestFeatureToSplit(dataset)
    bestFeatureLabel = labels[bestFeature]

    # 初始化树
    myTree = {bestFeatureLabel: {}}
    subLabels = labels[:]
    del subLabels[bestFeature]
    
    # 递归构建决策树
    featList = [entry[bestFeature] for entry in dataset]
    uniqueValues = set(featList)
    for value in uniqueValues:
        myTree[bestFeatureLabel][value] = createTree(splitDataSet(dataset, bestFeature, value), subLabels)
    return myTree

6. 使用决策树执行分类

# 使用决策树执行分类
def classify(inputTree, featLabels, testVec):
    # 取出根节点,python2直接写成inputTree.keys()[0]
    firstStr = list(inputTree.keys())[0]
    # 找到根节点下面的分支(该分类特征的分支)
    childDict = inputTree[firstStr]
    featIndex = featLabels.index(firstStr)

    # 遍历分类特征的所有取值
    for key in childDict.keys():
        # 如果测试向量的该类值等于分类特征的第key个节点
        if testVec[featIndex] == key:
            # 判断该节点是否为字典类型
            if type(childDict[key]).__name__ == 'dict':
                # 是字典类型，继续遍历
                classLabel = classify(childDict[key], featLabels, testVec)
            else:
                # 不是字典，返回最终结果
                classLabel = childDict[key]
    return classLabel

7. 存储决策树
构建决策树是非常耗时的任务，即使很小的数据集，也要花费几秒的时间来构建决策树，这样显然耗费计算时间。所以，我们可以将构建好的决策树保存在磁盘中，这样当我们需要的时候，再从磁盘中读取出来使用即可。为了解决这个问题，可以使用pickle序列化对象，任何对象都可以执行序列化操作，字典对象也不例外。