近世代数理论基础39：线性递归序列

线性递归序列

k阶线性递归序列

计算机中信息表示为0,1序列,且运算为模2运算,故可将序列中的元看作域 $F_2=\Z_2$ 中的元

设 $k\in Z_+$ , $F_2$ 中的一个序列 $s_0,s_1,s_2,\cdots$ 满足：

$s_n=c_1s_{n-1}+c_2s_{n-2}+\cdots+c_ks_{n-k},n\ge k$ ,其中 $c_1,c_2,\cdots,c_{k-1}\in F_2$ 是一组给定元, $c_k=1$

则称之为一个k阶线性递归序列

$s_0,s_1,\cdots,s_{k-1}$ ,称为初始值,初始值给定后,序列后所有元均可生成

令 $S(x)=s_0+s_1x+s_2x^2+\cdots$ ,称为线性递归序列的生成函数

令 $f(x)=1+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_kx^k\in F_2[x]$ ,称为该序列的联结多项式

则 $f(x)S(x)=(1+c_1x+c_2x^2+\cdots+c_kx^k)(s_0+s_1x+s_2x^2+\cdots)$

$=s_0+(s_1+c_1s_0)x+\cdots+(s_n+c_1s_{n-1}+c_2s_{n-2}+\cdots+c_ks_{n-k})x^n+\cdots$

$=s_0+(s_1+c_1s_0)x+\cdots+(s_{k-1}+c_1s_{k-2}+c_2s_{k-3}+\cdots+c_{k-1}s_0)x^{k-1}$

$=g(x)$

其中,由递推关系, $x^k,x^{k+1},\cdots$ 的系数为0, $g(x)$ 的次数 $\le k-1$

故 $S(x)={g(x)\over f(x)}$ ,令 $\widehat{f}(x)=x^kf({1\over x})=x^k+c_1x^{k-1}+\cdots+x+1$

假设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k$ 为 $\widehat{f}(x)$ 在 $F_2$ 的扩域中的k个根

则 $\widehat{f}(x)=(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)\cdots(x-\alpha_k)$

故 $f(x)=x^k\widehat{f}({1\over x})=(1-\alpha_1x)(1-\alpha_2x)\cdots(1-\alpha_kx)$

$S(x)={g(x)\over f(x)}={g(x)\over (1-\alpha_1x)(1-\alpha_2x)\cdots(1-\alpha_kx)}$

$={\beta_1\over 1-\alpha_1x}+{\beta_2\over 1-\alpha_2x}+\cdots+{\beta_k\over 1-\alpha_kx}$

$=\beta_1\sum\limits_{i=0}^\infty(\alpha_1x)^i+\beta_2\sum\limits_{i=0}^\infty(\alpha_2x)^i+\cdots+\beta_k\sum\limits_{i=0}^k(\alpha_kx)^i$

$=\sum\limits_{i=0}^\infty(\beta_1\alpha_1^i+\beta_2\alpha_2^i+\cdots+\beta_k\alpha_k^i)x^i$

比较系数可得

$s_i=\beta_1\alpha_1^i+\beta_2\alpha_2^i+\cdots+\beta_k\alpha_k^i,i=0,1,2,\cdots$

设 $\widehat{f}(x)$ 是 $F_2$ 上的k次不可约多项式,所有根可表为

$\alpha_1=\alpha,\alpha_2=\alpha^2,\alpha_3=\alpha^{2^2},\cdots,\alpha_k=\alpha^{2^{k-1}}$ ,即 $\alpha$ 在 $F_{2^k}/F_2$ 中所有共轭元

迹

定义：设 $\xi\in F_{2^k}$ ,则称 $Tr_{F_{2^k}/F_2}(\xi)=\xi+\xi^2+\cdots+\xi^{2^{j-1}}$ 为 $\xi$ 相对 $F_2$ 的迹,简写作 $Tr(\xi)$

${g(x)\over f(x)}={\beta_1\over 1-\alpha x}+{\beta_2\over 1-\alpha^2x}+\cdots+{\beta_k\over 1-\alpha^{2^{k-1}}x}$

$g(x),f(x)\in F_2[x]$ ,将上式两端的系数作用伽罗瓦自同构 $\xi\to \xi^2,\forall \xi\in F_{2^k}$

则 ${g(x)\over f(x)}={\beta_1^2\over 1-\alpha^2x}+{\beta_2^2\over 1-\alpha^{2^2}x}+\cdots+{\beta_k^2\over 1-\alpha x}$

上式左端有理函数表达为有段的有理分式表示法唯一

故 $\beta_2=\beta_1^2,\beta_3=\beta_1^{2^2},\cdots,\beta_k=\beta_1^{2^{k-1}}=Tr(\beta\alpha^i)$ ,称为线性递归序列的迹表达式

显然 $s_0,s_1,s_2,\cdots$ 的周期为元 $\alpha$ 的阶

若 $\alpha^{p+i}=\alpha^i(i\ge 0)$ ,则 $s_{p+i}=s_i$ ,当 $f(x)$ 为本原多项式时, $\alpha$ 的阶为 $2^k-1$ ,此时序列的周期为 $2^k-1$ ,达到最大可能的周期,这类序列称为m序列

迹表达式是研究序列性质的有用工具

流密码

在数字通信中,任一信息都可用一个 $0,1$ 序列 $m=(m_0,m_1,m_2,\cdots)$ 表示,其中 $m_i=0或1$ ,流密码的加密方法是取一个与m有相同长度的 $0,1$ 序列 $K=(k_0,k_1,k_2,\cdots)$ ,将K与m按位模2相加：

$c=m+K=(c_0,c_1,c_2,\cdots)$

$c_i\equiv m_i+k_i(mod\;2)$

此时加密方和解密方需要知道相同的密钥序列K

线性递归常用于构造密钥序列K,所用的线性递归序列的性质将影响所生成的密钥序列的性质

但是线性递归序列并不能直接当作密钥序列,常采用一个非线性处理来提高序列的随机性

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