统计术语中，相关系数一词经常被滥用，同时也困扰着我。相关系数描述一个变量随着另一个变量的增加而增加，也可以理解为单调递增。变量之间的这个单调趋势很值得去探索，但是大多数人习惯使用标准相关系数导致无法发现这一趋势。在我的印象中，老师在课堂上经常强调：我们现在所说的、以及以后所说的相关都指线性相关。所以，每当我们一提到相关性或者探寻变量间的相关性时，脑海里便跳出了线性相关。把变量间的相关性限制成了线性相关。
Pearson相关系数，通常是学生们学到的计算相关系数的唯一，此方法倾向于研究线性趋势。只有Spearman相关系数，实际上用于检测一般单调趋势，而这种方法通常在课堂上老师没有讲解。
我们可以借助R软件，模拟随着x的多项式次数的增加，Pearson和Spearman相关系数的变化规律。代码如下：
corTest <- function(degree, method){
x <- 1:50
y <- x ** degree
corr <- cor(x, y, method=method)
return(corr)
}
degree <- 1:50
pearson <- sapply(degree, corTest, method='pearson')
spearman <- sapply(degree, corTest, method='spearman')
types <- rep(c('pearson', 'spearman'), each = 50)
data <- data.frame(degree, types, corr=c(pearson, spearman))
colors=c(rgb(0.7,0.3,0.1,0.5) , rgb(0.2,0.2,0.9,0.5))
library(lattice)
xyplot(corr ~ degree, data, groups = types, type = "a",
auto.key=list(corner=c(0.1,0.9), points=FALSE, lines=FALSE, col=colors, cex=1.3),
lwd=5, col=colors,
xlab="Degree of Polynomial",
ylab="Correlation Coefficient",
main="Pearson vs. Spearman Correlaton")
从下图中我们可以看出：如果Pearson相关系数确实检测到了单调趋势，那么随着x多项式次数的增加，Pearson相关系数会向0靠拢，但不会为0。此时，使用Spearman相关系数会更加精确。
