线性函数
定义：设V是数域P上的一个线性空间,f是V到P的一个映射,若
,f满足
1.%3Df(%5Calpha)%2Bf(%5Cbeta))
2.%3Dkf(%5Calpha))
则称f为V上的一个线性函数
性质：
1.设f是V上的线性函数
则%3D0)
,%3D-f(%5Calpha))
证明：
%3Df(0%5Calpha)%3D0f(%5Calpha)%3D0)
%3Df((-1)%5Calpha)%3D(-1)f(%5Calpha)%3D-f(%5Calpha))
2.若
是
的线性组合
则%3Dk_1f(%5Calpha_1)%2Bk_2f(%5Calpha_2)%2B%5Ccdots%2Bk_sf(%5Calpha_s))
例：
1.设
是P中任意数,)
为
中的向量
函数%3Df(x_1%2Cx_2%2C%5Ccdots%2Cx_n)%3Da_1x_1%2Ba_2x_2%2B%5Ccdots%2Ba_nx_n)
即P上的一个线性函数
当
时,%3D0)
,称为零函数,可用0表示零函数
注：上的任一线性函数都可表成这种形式
令%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn)
中任一向量可表成
设f是上一个线性函数
则%3Df(%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Cvarepsilon_i)%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enx_if(%5Cvarepsilon_i))
令%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn)
则%3Da_1x_1%2Ba_2x_2%2B%5Ccdots%2Ba_nx_n)
即上述形式
2.A是数域P上一个n级矩阵
设
则A的迹%3Da_%7B11%7D%2Ba_%7B22%7D%2B%5Ccdots%2Ba_%7Bnn%7D)
是P上全体n级矩阵构成的线性空间
上的一个线性函数
3.设![V=P[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=V%3DP%5Bx%5D)
,t是P中一个取定的数,定义P[x]上的函数
为
![L_t(p(x))=p(t),p(x)\in P[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=L_t(p(x))%3Dp(t)%2Cp(x)%5Cin%20P%5Bx%5D)
则))
为)
在t点的值
是![P[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=P%5Bx%5D)
上的线性函数
若V是数域P上一个n维线性空间,取定V的一组基
,对V上任意线性函数f及V中任意向量
有%3Df(%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enx_i%5Cvarepsilon_i)%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Enx_if(%5Cvarepsilon_i))
,故)
由%2C%5Ccdots%2Cf(%5Cvarepsilon_n))
的值唯一确定
反正,任给P中n个数,定义V上一个函数f
%3D%5Csum%5Climits_%7Bi%3D1%7D%5Ena_ix_i)
为一个线性函数,且%3Da_i%2Ci%3D1%2C2%2C%5Ccdots%2Cn)
定理：设V是P上一个n维线性空间,
是V的一组基,是P中任意n个数,存在唯一的V上线性函数f,使
