LeetCode1011（按顺序划分的最优解）

题目：

传送带上的包裹必须在 D 天内从一个港口运送到另一个港口。

传送带上的第 i 个包裹的重量为 weights[i]。每一天，我们都会按给出重量的顺序往传送带上装载包裹。我们装载的重量不会超过船的最大运载重量。

返回能在 D 天内将传送带上的所有包裹送达的船的最低运载能力。

示例 1：

输入：weights = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10], D = 5
输出：15
解释：
船舶最低载重 15 就能够在 5 天内送达所有包裹，如下所示：
第 1 天：1, 2, 3, 4, 5
第 2 天：6, 7
第 3 天：8
第 4 天：9
第 5 天：10

请注意，货物必须按照给定的顺序装运，因此使用载重能力为 14 的船舶并将包装分成 (2, 3, 4, 5), (1, 6, 7), (8), (9), (10) 是不允许的。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/capacity-to-ship-packages-within-d-days
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解答：

方法一：DP

这题一眼就可以看出来可以用递归的方法来做，而且可以很快的找到转换关系，从而想到如何 dp 。

定义 dp(i,j) 是 i 天运输 weights[0-j] 的最低运载能力。

那么可以得到， dp(i,j) = min{ max{ dp(i-1,k) , sum[ k+1 …… j ] } } , 0<=k<j

public int shipWithinDays(int[] weights, int D) {
    int[] sum = new int[weights.length];    
    int[] dp = new int[weights.length];    
    sum[0] = weights[0];    
    dp[0] = sum[0];    
    for (int i = 1; i < weights.length; i++) {    
        sum[i] = sum[i - 1] + weights[i];        
        dp[i] = sum[i];        
    }        
    for (int i=1;i<D;i++) {    
        for(int j=weights.length-1;j>i-1;j--) {        
            for (int k=i-1;k<j;k++) {                           
                dp[j] = Math.min(Math.max(dp[k], sum[j] - sum[k]), dp[j]);   
            }            
        }        
    }    
    return dp[weights.length-1];    
}

btw，这里 dp 枚举 k 的过程还可以优化，有兴趣的话可以看下四边形不等式。

方法二：二分法

上面 dp 的方法如果放进 leetcode 运行的话就会发现 TLE ….

所以换个思路，定义一个方法返回 res，给定一个 limit 变量，遍历数组并且进行累加，得到累加和 sum 。当 sum 大于 limit 时，res++，sum=当前元素。最后输出 res 。再将 res 与天数 D 作比较，res 小的话，减小 limit ；res 大的话，增大 limit 。这里减小和增大可以用二分法进行。

public int helper(int[] a, int lim) {
    int res = 1;    
    int sum = 0;    
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {    
        if (a[i] > lim) {        
            return Integer.MAX_VALUE;        
        }                
        sum += a[i];        
        if (sum > lim) {        
            res++;            
            sum = a[i];            
        }                
    }    
    return res;    
}

public int shipWithinDays(int[] weights, int D) {       
    int maxSum = 0;    
    int minSum = 0;    
    for (int i = 0; i < weights.length; i++) {            
        maxSum += weights[i];        
    }    
    while (minSum != maxSum - 1) {    
        int mid = minSum + (maxSum - minSum) / 2;        
        if (helper(weights, mid) > D) {        
            minSum = mid;            
        } else {        
            maxSum = mid;            
        }        
    }    
    return maxSum;    
}