数列极限概念

数列

定义：若函数f的定义域为 $N_+$ ,则称 $f:N_+\to R$ 或 $f(n),n\in N_+$ 为数列

数列f(n)可写作 $a_1,a_2,\cdots,a_n,\cdots$ ,简写作 $\{a_n\}$ ,其中 $a_n$ 为通项

收敛数列及其极限

数列极限的 $\varepsilon-N$ 定义：

设 $\{a_n\}$ 为数列, $a\in R,\forall \varepsilon\gt 0,\exists N\in N_+$ ,使当 $n\gt N$ 时有 $|a_n-a|\lt \varepsilon$

则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于a,称a为数列 $\{a_n\}$ 的极限

记作 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a$ 或 $a_n\to a(n\to \infty)$

若数列 $\{a_n\}$ 没有极限,则称 $\{a_n\}$ 不收敛,或称 $\{a_n\}$ 为发散数列

例：证明 $\lim\limits_{n\to \infty}{1\over n^\alpha}=0$ ,其中 $\alpha\gt 0$

证：

$|{1\over n^\alpha}-0|={1\over n^\alpha}$

$\forall \varepsilon\gt 0,取N=[{1\over \varepsilon^{1\over \alpha}}]+1,$

$则当n\gt N时有|{1\over n^\alpha}-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}{1\over n^\alpha}=0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：证明 $\lim\limits_{n\to \infty}q^n=0$ ,其中 $|q|\lt 1$

证：

$若q=0,结论显然成立$

$若q\neq 0,则0\lt |q|\lt 1$

$记h={1\over |q|}-1\gt 0$

$|q^n-0|=|q|^n={1\over (1+h)^n}$

$由(1+h)^n\ge 1+nh得$

$|q|^n\le {1\over 1+nh}\lt {1\over nh}$

$\forall \varepsilon\gt 0,取N={1\over \varepsilon h}$

$当n\gt N时有|q^n-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}q^n=0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

法二：

$若q=0,结论显然成立$

$若q\neq 0,则0\lt |q|\lt 1$

$要证|q^n-0|=|q|^n\lt \varepsilon$

$只需证nlg|q|\lt lg\varepsilon$

$即证n\gt {lg\varepsilon\over lg|q|}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,不妨设\varepsilon\lt 1,取N={lg\varepsilon\over lg|q|}$

$当n\gt N时有|q^n-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}q^n=0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：证明 $\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1$ ,其中 $a\gt 0$

证：

$a=1时,结论显然成立$

$a\gt 1时,|a^{1\over n}-1|=a^{1\over n}-1$

$记k=a^{1\over n}-1,则$

$a=(1+k)^n\ge 1+nk=1+n(a^{1\over n}-1)$

$\therefore a^{1\over n}-1\le {a-1\over n}$

$\forall \varepsilon\gt 0,取N={a-1\over \varepsilon}$

$当n\gt N时有|a^{1\over n}-1|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1$

$0\lt a\lt 1时,|a^{1\over n}-1|=1-a^{1\over n}$

$记l=1-a^{1\over n},则$

$a=(1-l)^n\ge 1-nl=1-n(1-a^{1\over n})$

$\therefore 1-a^{1\over n}={1-a\over n}$

$\forall \varepsilon\gt 0,取N={1-a\over \varepsilon}$

$当n\gt N时有|a^{1\over n}-1|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1$

$综上所述,\lim\limits_{n\to \infty}\sqrt[n]{a}=1\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：证明 $\lim\limits_{n\to \infty}{a^n\over n!}=0$

证：

$a=0时,结论显然成立$

$a\neq 0时,设k=[|a|]+1$

$|{a^n\over n!}-0|={|a|^n\over n!}={|a|\cdot|a|\cdots|a|\cdots|a|\over 1\cdot 2\cdots k\cdots n}\le K{|a|\over n}$

$其中K={|a|\cdot|a|\cdots|a|\over 1\cdot 2\cdots k}$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,取N=max\{k,{K|a|\over \varepsilon}\}$

$当n\gt N时有|{a^n\over n!}-0|\lt \varepsilon$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}{a^n\over n!}=0\qquad \mathcal{Q.E.D}$

数列极限的另一种刻画

定义： $\forall \varepsilon\gt 0$ ,若数列 $\{a_n\}$ 在 $U(a;\varepsilon)$ 外至多有有限项,则称数列 $\{a_n\}$ 收敛于a

若 $\exists \varepsilon_0\gt 0$ ,使数列 $\{a_n\}$ 有无穷多项落在 $U(a;\varepsilon_0)$ 外,则 $\{a_n\}$ 不以a为极限

例：证明 $\{n^2\}$ 和 $\{(-1)^n\}$ 都是发散数列

证：

$\forall a\in R,取\varepsilon_0=1$

$数列\{n^2\}中所有满足n\gt a+1的项$

$有无穷多个都落在U(a;\varepsilon_0)外$

$\therefore \{n^2\}不以任何数a为极限$

$即\{n^2\}为发散数列$
$a=1时,取\varepsilon_0=1$

$则在U(a;\varepsilon_0)外有\{(-1)^n\}中的所有奇数项$

$a\neq 1时,取\varepsilon_0={1\over }|a-1|$

$则在U(a;\varepsilon_0)外有\{(-1)^n\}的所有偶数项$

$\therefore \{(-1)^n\}不以任何数a为极限$

$即\{(-1)^n\}为发散数列\qquad \mathcal{Q.E.D}$

例：设 $\lim\limits_{n\to \infty}x_n=a$ , $\lim\limits_{n\to \infty}y_n=b$ ,作数列 $\{z_n\}$ 为 $x_1,y_1,x_2,y_2,\cdots,x_n,y_n,\cdots$ ,求证：数列 $\{z_n\}$ 收敛的充分必要条件是a=b

证：

$充分性$

$\because a=b$

$即\lim\limits_{n\to \infty}x_n=\lim\limits_{n\to \infty}y_n$

$\therefore \forall \varepsilon\gt 0,\{x_n\}和\{y_n\}落在U(a;\varepsilon)外的项至多有限个$

$\therefore \{z_n\}落在U(a;\varepsilon)外的项至多有限个$

$\therefore \lim\limits_{n\to \infty}z_n=a$

$必要性$

$设\lim\limits_{n\to \infty}z_n=A,则\forall \varepsilon\gt 0$

$\{z_n\}落在U(A;\varepsilon)外的项至多有限个$
$\therefore \{x_n\}和\{y_n\}落在U(a;\varepsilon)外的项至多有限个$

$\therefore a=\lim\limits_{n\to \infty}x_n=A=\lim\limits_{n\to \infty}y_n=b\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：设 $\{a_n\}$ 为给定的数列, $\{b_n\}$ 为对 $\{a_n\}$ 增加、减少或改变有限项后得到的数列,证明：数列 $\{b_n\}$ 与 $\{a_n\}$ 同时收敛或发散,且在收敛时两者极限相等

证：

$设\{a_n\}收敛,且\lim\limits_{n\to \infty}a_n=a,则$

$\forall \varepsilon\gt 0,\{a_n\}中落在U(a;\varepsilon)外的项至多有限个$

$\{b_n\}是对\{a_n\}增加、减少或改变有限项后得到的$

$\therefore 从某一项起,$

$\{b_n\}中的每一项都是\{a_n\}中确定的一项$

$\therefore \{b_n\}中落在U(a;\varepsilon)之外的项至多有限个$

$即\lim\limits_{n\to \infty}b_n=a$

$设\{a_n\}发散,若\{b_n\}收敛,则$

$\because \{a_n\}可看成是对\{b_n\}增加、减少或改变有限项后得到的$

$\therefore \{a_n\}收敛,矛盾$

$\therefore \{a_n\}发散时\{b_n\}也发散\qquad \mathcal{Q.E.D}$

无穷小数列与无穷大数列

定义：若 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0$ ,则称 $\{a_n\}$ 为无穷小数列

定理：数列 $\{a_n\}$ 收敛于a的充要条件是 $\{a_n-a\}$ 为无穷小数列

定义：若数列 $\{a_n\}$ 满足 $\forall M\gt 0$ , $\exists N\in N_+$ ,使得当 $n\gt N$ 时有 $|a_n|\gt M$ ,则称数列 $\{a_n\}$ 发散于无穷大,记作 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty$ ,或 $a_n\to \infty$

注：若 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=\infty$ ,则称 $\{a_n\}$ 是一个无穷大数列或无穷大量

定义：若数列 $\{a_n\}$ 满足 $\forall M\gt 0$ , $\exists N\in N_+$ ,使得当 $n\gt N$ 时有 $a_n\gt M(a_n\lt -M)$ ,则称数列 $\{a_n\}$ 发散于正(负)无穷大,记作 $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=+\infty$ ,或 $a_n\to +\infty$ ( $\lim\limits_{n\to \infty}a_n\to -\infty$ 或 $a_n\to -\infty$ )

注：无界数列不一定是无穷大量,如 $\{[1+(-1)^n]n\}$

数学分析理论基础5：数列极限概念

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数列

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