background
对于复杂函数)
的MC积分，可以使用重要性采样。如果采样函数的形状和被积函数类似，可以加快收敛速度。
如上图采样函数
和
，单独使用的时候，可能造成极大的variance，例如%2Fp_a(x_a))
会是一个很大的数值。
如上图采样函数和联合之后，可以和被积函数更相似，因此联合两种采样方法，可以减少方差加快收敛速度, 即![\frac{f(x_a)}{[p_a(x_a)+p_b(x_a)]*0.5}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cfrac%7Bf(x_a)%7D%7B%5Bp_a(x_a)%2Bp_b(x_a)%5D*0.5%7D)
不会爆表。
方法可以为：从或者中随机选一个作为采样方法，再从中采样若干个样本。这基本相当于从两个分布的加权平均中进行采样。
method
原始MC estimator为：
%7D%7Bp_i(x_%7Bi%7D)%7D)
假定有
中采样方法%2C%20p_2(x)%2C%20...%2C%20p_n(x))
（路径生成方法），且从第
个方法中，生成
个样本
。
那么MIS estimator为：
%5Cfrac%7Bf(x_%7Bi%2Cj%7D)%7D%7Bp_i(x_%7Bi%2Cj%7D)%7D)
其中%3D1)
, 表明，同一个样本
被不同的中采样技术估计后，权重之和为1
%20%3D%20%5Cfrac%7Bn_ip_i(x)%7D%7B%5Csum_k%20n_k%20p_k(x)%7D)
, )
表示样本被种不同采样方法估量之后，使用当前采样方法)
占所有情况的的一个比例。
对于每一种采样技术得到的样本，加权求和（%5Cfrac%7Bf(x_%7Bi%2Cj%7D)%7D%7Bp_i(x_%7Bi%2Cj%7D)%7D)
）：
- 这一项，实际上相当于只有一个采样技术时候的MC积分，只不过，对于每一项乘以了权重。
- 再进一步理解：相当于，（只有一个采样技术时候），对于每一个样本，这个样本被不同的采样方法综合考量（weighted）以后的结果
最后，因为在权重中已经考虑了中采样技术的平均了，对于每一种采样技术，直接求和(
)，
最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
【社区内容提示】社区部分内容疑似由AI辅助生成，浏览时请结合常识与多方信息审慎甄别。
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。
