讲好数学中的“道理”
小学数学里的许多知识（包括性质、规律、法则等）背后，常常蕴藏着更为一般的原理，是一般原理在特定情境中的表现。而这些一般原理又可以追溯到学生已有或熟知的经验与观念。
比如，三角形任意两边之和为什么大于第三边？这是“两点之间，线段最短”这一原理在三角形三边关系中的表现。又如，整数加减法要相同数位对齐，小数加减法要小数点对齐，同分母分数加减法要分母不变分子相加减，异分母分数加减法要先通分再计算，其背后的一般原理则是相同计数单位的数才能直接相加减。如果学生不明白其中的道理，知识就需要死记硬背并不断地重复，最终的效果也不佳。但现实中，很多教师都不大善于讲道理，最擅长的是让学生记住法则、记住公式、背会定义，然后不断练习。其实，学习数学不应该是死记硬背的，帮助学生“悟出”数学知识中蕴含的道理，能使学生更好地把握知识的本质，促进学生数学素养的提升。
下面通过几个案例加以说明。
案例一：为什么要用商去乘除数的准确值？
“除数是两位数的除法——用四舍五入法试商”是学生第一次接触“试商”，课前调研发现，学生学习新知的主要障碍在于搞不清楚“把除数用‘四舍五入法’取近似值之后，商应该要去乘除数的准确值还是近似值”。怎样帮助学生突破这一学习难点，使学生理解“数的运算也是讲道理的，不是按照程序机械运行”的呢？我在教学中做了如下尝试。
师：老师到商场买魔方，发现有三种样式，价格分别是20元/个、31元/个、38元/个（显示：魔方图片）。老师带了170元钱，大概能买几个31元的魔方呢？
学生独立计算，全班交流。
生1：我先把31元看成30元，如果商6的话就要180元了，钱就不够了，所以商5，5乘31得155，170减去155剩下15。
生2：我的方法是先看170的前两位，发现不够除31，就把31估成30，170里面最多有5个30，所以商5，再算31乘5得155，最后余15。
师：生1和生2的算法有什么相同之处？
生3：他们都是先把31看成30，再商5，然后用5乘31得155，170减155余15。
师：我发现有同学这样计算（投影显示错误做法，如下图），这种做法对吗？
生4：不对，他是用商5去乘估计的数30了，应该是精确算而不是估算，应该用5去乘31等于155。
生5：如果用5去乘30的话，题目就变成170除以30了。
师：我们还可以联系生活想一想，老师买5个魔方，付钱的时候，是付5个31元呢，还是付5个30元？
生（齐）：肯定是5个31元喽。
师：如果我付5个30元，如果你是收银员，你会同意吗？
生（齐）：不会。
生：除非商场搞促销。（众笑）
师：是的，付钱的时候要付5个31元。所以，商5要去乘31，而不能去乘30。
生6：我想补充一下，我们把31元估成30元是为了好算，接下来的商还是要去乘原来的准确数的。
师：说得真好!假如老师要买38元一个的魔方，又能买几个呢？你会算吗？试试看。
学生独立计算，个别板演，全班交流。（师巡视时发现已经没有学生用近似数40去乘商了。）
生1：我先把38元看成40元，170除以40商4，再用4乘38得152，余18元。
师：很好，剩下18元。那这152表示的是什么呢？
生2：表示的是买4个38元魔方的钱。（在算式的152旁边板书4×38）
师：有没有谁付钱的时候是按照40元一个付给营业员的呀？
生（齐）：没有。
生：那不是给营业员小费了嘛。（众笑）
……
在上述教学中，教师精心创设了“买魔方”的生活情境，其所蕴含的“数学结构”与所学知识的结构相吻合，其所蕴含的经验能够很好地解释抽象的算理。学生结合生活情境深刻地理解了“应该去乘准确值而不应乘近似值”的道理，很好地突破了教学难点。
案例二：为什么多减了要加？
二年级学习简便计算时，学生常犯如下的错误：
476—198
=476－200－2
=276－2
=274
为了减少这样的错误，教师常会总结出口诀“多加几，就减几；多减几，就加几”，让学生记忆、练习。可是，不少学生还是屡错屡改、屡改屡错，造成这种状况的根源是他们并没有理解其中的道理。能不能找到一个既贴近学生生活又符合计算算理的生活情境来帮助学生理解呢？笔者做了如下尝试：
课始，让学生尝试用简便方法计算476-198，然后全班交流。
生1∶476-198 生2∶476-198
=476－200－2 =476－200+2
=276－2 =276+2
=274 =278
师：一道题怎么出现了两个答案呢？你同意哪一种做法？
学生意见不一。
师：数学是讲道理的，你能讲清楚道理来说服对方吗？
生3：我用列竖式的方法算过了，答案是278，所以生2的做法对。
师：用列竖式的方法来验证，确实是个好方法!其实，数学离生活很近，能举个生活中的例子来讲讲道理吗？
小组交流后全班交流。
生4：我和妈妈到超市买东西，要付198元，可以先付200元，收银员阿姨会把多付的2元钱找回来，所以应该加上2，而不是减去2。
师：你的意思是付200元找回2元（板书：付200元找回2元），举的例子真好!老师也举个例子，一年级有198个小同学，到学校图书室领数学书，每捆书有100本，可以怎么领呢？
生：可以先领2捆，也就是200本，再把多领的2本还回去，就是198本了。
师：也就是领200本退2本是吗？（板书：领200本退2本）
生：是的。
……
通过“超市付款”和“怎样领书”这些生活事例的探讨，唤醒了学生的生活经验，而这一经验中蕴含的“事理”恰恰与数学上的“算理”相吻合、相统一，运用“事理”能够很好地解释“算理”。接下来需要做的，就是将这一“事理”符号化、数学化，也就是把“付200元找回2元”“领200本退2本”抽象成“多减几要加几”。
案例三：为什么要添加中括号呢？
对于运算顺序这种规定性的数学知识，通常的教法是直接告诉学生，然后在练习中形成技能。能否结合现实情境给“为什么要添加中括号”一个合理的解释，让中括号成为学生的计算需求呢？笔者的教学如下：
（课件出示）实验小学开设了学生社团，摄影社团有男生8人，女生6人，美术社团的人数是摄影社团的2倍。合唱社团有84人，是美术社团的几倍？
让学生独立思考，尝试解答，然后全班交流。
生1:我先用8+6算出摄影社团有14人，再用14去乘2，算出美术社团有28人，最后再用84÷28，求出是美术社团的几倍。
8+6=14（人）14×2=28（人）84÷28=3
其他同学都表示赞同。
师：真不错!讲得很清楚!大家想一想，能不能把这几个算式合并成一个综合算式呢？
生2（自告奋勇上前板书）：84÷（8+6）×2
许多学生表示反对，生2发现后也赶紧去检查、修改。
生2:应该加一个中括号，改成84÷﹝（8+6）×2﹞。
部分同学表示同意，更多的人并不明白为什么要加一个中括号，有的甚至还不认识中括号。
师（示意生2）：你加的这个符号叫什么？（板书：﹝﹞）
生2：中括号。
师：你能给大家讲讲加中括号的道理吗？
生2：因为算完8+6=14，必须要先算×2，最后算÷。如果不加﹝﹞，就要先算84÷14，就错了!
师：为什么“必须先算×2”呢？
生：因为14人是摄影社团的人数，而美术社团的人数是它的2倍，先乘2就算出了美术社团的人数，然后才能求出合唱社团是美术社团的几倍。
师：这里的中括号起什么作用？
生：起到“先算”的作用。
师：加了中括号就能保证先算出美术社团的人数了。如果不加中括号，还用小括号行不行？
生：不行，算式里已经有了一个小括号了，小括号外面不能还是小括号啊!
师：是的，小括号已经用上了，如果还需要改变运算顺序，就需要用中括号来帮忙。（板书：中括号可以改变运算顺序）
生：老师，有没有大括号呀？
有学生回答：有。
师：确实有大括号，大括号长什么样呢？（板书：﹛﹜）这就是大括号，它也能改变运算顺序，只不过在我们小学阶段用得不多。
让学生试着在本子上写一写大括号和中括号。
师：算式里既有中括号，又有小括号，先算什么呢？
生：先算小括号里面的，再算中括号里面的。
师：说得很正确，这也符合“大的让着小的”的道理嘛!（众笑）
……
上述教学中，学生在列综合算式解决问题时出现了矛盾：要求“合唱社团人数是美术社团的几倍”，就要先算出“美术社团有多少人”（即先算乘法），而算式84÷（8+6）×2应该先算除法（已有的运算顺序）。怎样解决这个矛盾呢？这就需要引入中括号。这样，在算式里添上中括号就不再是机械告诉学生的，而是学生在学习活动中自己领悟的，是思辨的结果；运算顺序也不再是硬性规定，而是解决问题的需要。
案例四:为什么是“四舍五入”？
“四舍五入法”是近似数取值的方法之一，“如果尾数最高位上的数比5小，就将尾数全部舍去；如果尾数最高位上的数是5或比5大，舍去尾数后要向前一位进一”。这一方法好记也好用，通常情况下，教师在介绍完四舍五入法之后便安排练习加以巩固。至于为什么要用四舍五入法来取值，往往成了近似数学习的“盲区”。“知其然，更应知其所以然”，怎样理解“四舍五入”中的“所以然”呢？教学中，我引入数轴，借助数形结合的方法帮助学生明白其中的道理。
师：你们知道我们中国的总人口大约是多少吗？
生：13亿。
师：13亿是一个近似数，准确的人口数是多少呢？我们来看一个调查数据（出示：第六次全国人口普查显示，截止到2010年11月1日零时，我国登记的总人口为1 339 724 852人）。
师在黑板上画出一条数轴（如下图）。
师：这条直线上有无数个点，其中每一个点都代表着一个数，怎样在这条直线上比较准确地标出1 339 724 852的位置呢？
生：可以先把中间的线段平均分成10份，再来找。
师演示把13亿和14亿中间的线段平均分成了10份。
生1∶1 339 724 852比1 330 000 000多，比1 340 000 000少，应该在它们之间。
生2：1 339 724 852更接近1 340 000 000，应该画得更靠右面一些。
师演示在数轴上标出1 339 724 852的位置。
师：从图上看，1 339 724 852这个数更接近13亿还是14亿？你是怎么知道的？
生：因为它离13亿的距离近，离14亿的距离远，所以它更接近13亿。
师：从图上看，13亿和14亿之间的这些点，还有哪些数也接近13亿？
生：1 310 000 000，1 320 000 000，1 330 000 000，1 340 000 000。
师：1 350 000 000呢？
生：它的位置正好在13亿和14亿的正中间，离13亿和14亿是一样近的。
师：是的，数学上把这种正好处在中间位置的数的取值规定为接近较大的数，也就是规定它接近14亿。从图上看几个点，都有哪些数接近14亿？
生：1 350 000 000，1 360 000 000，1 370 000 000，1 380 000 000，1 390 000 000。
师：其实，这条直线上任意两个点之间还可以再分成许多个点，也就有了更多的数。仔细观察这些数，你发现接近13亿的所有数有什么特点？接近14亿的数呢？
小组讨论后全班交流。
生：接近13亿的这些数，千万位上的数字都小于5；接近14亿的这些数，千万位上的数字等于5或者大于5。
师：千万位上的数小于5，就要舍去这些尾数，近似数就是13亿；千万位上的数等于5或者大于5，舍去尾数后要向亿位进1，近似数就是14亿。数学上把这种取近似数的方法叫作“四舍五入法”。
……
有了上述借助直观的数轴讲道理的过程，将有助于学生在今后的取近似数时不再只是对“四舍五入法”的机械套用，而是会将数与其在数轴上的位置建立形象的对应，从而正确取值。
综上所述，教学时若能更多关注“讲道理”这件事儿，透过要学的知识（法则、规律、性质等）的表层，揭示其背后的更为普遍的原理，学生就能在更大的背景中来理解知识，从而把握知识的本质。而这些“道理”往往又是相通的，通过数学之理的明白，学生自然也会明白许多人生之理的。
