一、简介

大家认识和学习一个新事物，往往推荐遵循 WHAT、HOW、WHY 的顺序，本文从 WHAT 的角度对机器学习进行介绍，希望大家能够喜欢。

从本质上讲，机器学习是让机器根据数据来学习一个函数，这个函数能够从输入得到正确的输出，下面列举几个例子：

1. 回归问题： $f(房屋信息) = 房屋售价$

2. 分类问题： $f(一张图片)=是否有猫$

3. 翻译问题： $f(中文) = 英文$

4. 自动摘要： $f(一张图片) = 图片摘要$

5. 自动问答： $f(问题) = 答案$

很多机器学习算法是统计学习算法，下面对一些符号进行解释：

1. $P(E)$ 表示事件 $E$ 发生的概率；

2. $P(A|E)$ 表示条件概率，即当事件 $E$ 发生时，事件 $A$ 发生的概率；

二、贝叶斯分类

贝叶斯分类器是利用贝叶斯定理对现实进行简化建模的一类分类器，贝叶斯定理有下面所示的公式：

$P(A_i|E) = \frac{ P(A_i) P(E|A_i) }{ \sum_{j=1}^n P(A_j) P(E|A_j) }$ ，其中， $E$ 表示最终事件， $A_i$ 表示导致事件发生的原因。

在基于贝叶斯定理的算法中，将 $E$ 解释为数据样本，将 $A_i$ 解释为分类，即由于样本属于某个分类才导致了数据具有这样的特征。根据数据特征之间的关系，又分为朴素贝叶斯、线性判别分析、逻辑斯蒂回归等方法，下面依次进行介绍。

2.1 朴素贝叶斯

假设有这样的一个场景：我们收集了 $N$ 片树叶，记录下每片树叶的：长度、宽度、厚度、重量这4个特征，以及每片树叶的分类：杨树叶(= 0)、柳树叶(= 1)、桉树叶(= 2)。我们希望开发一个程序，输入数据是树叶的这4个特征，输出结果是树叶的分类。

首先我们对模型进行简化，即认为树叶的长度、宽度、厚度、重量这4个特征是相互独立的（其实并不是），用向量 $X = (X_1, X_2, X_3, X_4)^T$ 表示树叶的特征，用 $Y_i$ 表示树叶所属的分类，然后计算 $Y_i$ 的后验概率，如下：

$P(Y_i|X) = \frac{ P(Y_i) P(X|Y_i) }{ P(X) } = \frac{ P(Y_i) P(X|Y_i) }{ \sum_{j=1}^3 P(Y_j) P(X|Y_j) } = \frac{ P(Y_i) \prod_{k=1}^4 P(X_k|Y_i) }{ \sum_{j=1}^3 P(Y_j) \prod_{k=1}^4 P(X_k|Y_j) }$

然后我们对 $Y_i$ 后验概率公式中的参数进行估计，根据概率论中的强大数定理，频率以概率1收敛到概率，所以我们使用频率对 $P(Y_i)$ 和 $P(X_k|Y_i)$ 进行估计，即：

$P(Y_i) = \frac{ N_i }{ N }$ ， $P(X_k|Y_i) = \frac{ N_{ik} }{ N_i }$

将概率的估计值代入 $P(Y_i|X)$ 的公式中计算出 $Y_i$ 的后验概率，我们取后验概率最大的 $Y_i$ 作为 $X$ 的分类。

2.2 线性判别分析

在前面的朴素贝叶斯中，我们假设了数据的特征之间是独立的。现在，我们取消这个假设，并且增加另一个假设：每个类别的特征符合协方差相同的多元正态分布。设 $x$ 为特征向量（维度为 $p \times 1$ ）， $\mu_k$ 为第 $k$ 个分类的特征均值向量， $\pi_k$ 为第 $k$ 个分类的概率， $\Sigma$ 为公共的协方差矩阵，则特征的概率密度函数为：

$f(x|Y_k) = (2 \pi)^{-\frac{p}{2}} |\Sigma|^{-\frac{1}{2}} e^{-\frac{1}{2} (x - \mu_k)^T \Sigma^{-1} (x - \mu) }$

我们计算 $x$ 的后验概率的比值的对数：

$ln( \frac{ \pi_k f(x|Y_k) }{ \pi_j f(x|Y_j) } ) = (x^T \Sigma^{-1} \mu_k - \frac{1}{2} \mu_k^T \Sigma^{-1} \mu_k + ln\pi_k) - (x^T \Sigma^{-1} \mu_j - \frac{1}{2} \mu_j^T \Sigma^{-1} \mu_j + ln\pi_j)$

通过上面的公式，就可以得到判别函数：

$\delta(x | Y_k) = x^T \Sigma^{-1} \mu_k - \frac{1}{2} \mu_k^T \Sigma^{-1} \mu_k + ln\pi_k$

我们取 $\delta(x | Y_k)$ 最大的 $k$ 作为 $x$ 的分类，可以看出 $\delta(x | Y_k)$ 是特征分量的线性函数，这就是线性判别分析的名称由来。

2.3 逻辑斯蒂回归

逻辑斯蒂回归（简称：逻辑回归）是分类方法，并不是回归方法，它适合对数据进行二分类，其中正例为1，反例为0。逻辑回归对数据的基本假设是：

$P(1|x) = \sigma(x^Tw + b)$ ，其中， $\sigma(x) = (1 + e^{-x})^{-1}$ ， $w$ 为权重向量， $b$ 为偏置

通过计算可以可到：

$ln( \frac{ P(1|x) }{ P(0|x) } ) = x^T w + b$ ，即对数似然比是特征分量的线性函数，这是逻辑回归的最终假设。

我们需要从 $N$ 个训练数据中学习到正确的 $(w,b)$ 参数，那么需要一个对正确与否的衡量标准。我们反其道而行之，使用下面的交叉商误差作为损失函数来衡量参数的正确性：

$L(w, b) = - \frac{1}{N} \sum_{i = 1}^n (y ln(\sigma(x_i^T w + b)) + (1 - y)ln(1- \sigma(x_i^T w + b)))$

请注意，在给定训练数据的情况下， $L(w,b)$ 是 $(w,b)$ 的函数。可以证明， $L(w,b)$ 具有唯一的全局最小值，那么我们可以利用梯度下降的方法来寻找 $(w,b)$ 的最优解，通过计算可以得到 $L(w,b)$ 的梯度为：

$\nabla L(w,b) = \frac{1}{N} X^T (\sigma(X w + b) - Y)$

然后，通过迭代算法就可以通过训练数据学习到 $(w,b)$ 的最优解。

三、线性和非线性回归

回归问题是希望得到一个具有连续输出的函数，这个函数根据输入的特征输出正确的连续值。

3.1 线性回归

线性回归对数据的基本假设是独立性和比例性，例如函数 $y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2$ ：当 $x_1$ 发生变化时，对 $y$ 的影响与 $x_2$ 无关，这就是独立性；当 $x_1$ 增加 $\Delta x_1$ 时， $y$ 增加 $\beta_1 \Delta x_1$ ，这就是比例性。

设数据有 $D$ 个特征，线性回归使用下面的函数进行建模：

$y = \beta_0 + \sum_{j = 1}^D \beta_j x_j$ ，如果设 $x_0 = 1$ ，则方程可以改写成向量内积的形式：

$y = x^T \beta$ ，其中： $x = (1, x^{(1)}, \dots , x^{(D)})^T, \beta = (\beta_0, \dots , \beta_D)^T$

当有 $N$ 个数据时，线性回归可以用下面的矩阵方程（未知量为 $\beta$ ）来表示：

$y = X \beta$ ，其中： $y = (y_1, y_2, \dots , y_N)^T$ ， $X = (x_1^T, x_2^T, \dots , \x_N^T)$

上面的方程未必是有解的，所以我们寻找它的最小二乘解，即：

$\hat{\beta} = arg min_\beta |X \beta - y|^2$

可以证明以下两点：

1. $\hat{\beta}$ 一定是线性方程组 $X^T X \beta = X^T y$ 的解；

2. 线性方程组 $X^T X \beta = X^T y$ 一定有解；

当 $X^T X$ 可逆时，可以直接求得 $\hat{\beta}$ 的解析解： $\hat{ \beta } = (X^T X)^{-1} X^T y$

当 $X^T X$ 不可逆时，有两种方法求解：

1. 求 $X^T X$ 的广义逆矩阵，则 $\hat{\beta}$ 具有解析解： $\hat{ \beta } = (X^T X)^- X^T y$

2. 求函数 $f( \beta ) = |X \beta - y|^2$ 的梯度，使用迭代算法求解；

得到 $\hat{\beta}$ 后，我们还需要对 $\hat{\beta} = 0$ 进行显著性检验，这需要假设 $y$ 是独立同分布的正态随机变量，具体内容请参考线性回归的相关资料。

3.2 非线性回归

非线性回归是去掉了线性回归中独立性和比例性的假设，主要包括以下几种模型：

1. 阶梯回归：通过将特征空间进行分割，将某个区间的平均值作为输出值；

2. 多项式回归：通过引入特征的幂，或者，多个特征之间的交互项，然后再进行常规的线性回归；

3. 决策树回归：通过创建决策树对特征空间进行二叉分割，将某结点的平均值作为输出值；

4. 神经网络回归：使用均方误差作为损失函数，使用 $\sigma$ 函数作为激活函数的多层神经网络，可以获得较好的回归效果，但也容易过拟合；

四、神经网络

神经网络是端到端的机器学习方法，它通过多层感知机和非线性激活函数，实现对非线性函数的拟合，在函数逼近、计算机视觉、自然语言处理中有广泛应用。

4.1 感知机

感知机是输入特征的仿射函数的符号函数，即特征的线性组合加上偏置大于等于零则为 1，否则为 -1：

$f(x) = sign(\sum_{j=1}^d x^{(j)} w_j + b)$

在一个线性可分数据中，存在一个分离超平面，可以通过函数 $f(x)$ 将数据分为正例和负例。首先随机选择分离超平面，并且将所有误分类点与该平面的距离作为损失函数，对数据和损失函数执行梯度下降。根据感知机收敛定理，通过有限次迭代后，可以得到正确的分离超平面。

4.2 前馈神经网络

FNN示意图

前馈神经网络（FNN）是在每层堆叠多个感知机，并且使用多个隐藏层。例如上图的神经网络，输入特征数是2，具有3个隐藏层，第一层有3个感知机，第二层有2个感知机，第三层有2个感知机。通过这样堆叠感知机，并对感知机的输出应用非线性激活函数后，我们可以得到一个从 $x_1, x_2$ 到 $y_1, y_2$ 的函数。由于数据都是从前向后传播的，所以这样的神经网络叫做前馈神经网络，又叫做全连接层。FNN 一般用在分类和回归算法最后的输出模块中。

4.3 卷积神经网络

CNN示意图

卷积神经网络（CNN）主要应用在计算机视觉中，它的诞生是为了弥补 FNN 进行图像建模时，丢失了图像的区域信息和层次信息的问题。如上图所示，输入数据是具有 C 个通道（一般为RGB 3 通道）、尺寸为 H*W 的图片，卷积核尺寸为 FN*C*FH*FW；卷积核在每个通道上进行卷积运算（对应元素相乘后求和，类似于向量内积）后相加，最后加上偏置得到输出结果，所以卷积元算实质上还是仿射运算。通过这样对输入的处理，输出数据中保留了图片的空间信息，有利于对图片进行分类识别或进一步处理。

4.4 循环神经网络

RNN示意图

循环神经网络（RNN）主要应用在时间序列处理中。前述的 FNN、CNN 都属于前馈神经网络，每个输入都是独立存在的，前一个输入数据不影响当前输入数据的输出。CNN 通过将前一个数据的输出状态作为当前数据的附加输入，从而实现对时间序列状态的记忆。实际中使用的 RNN 层大多是 LSTM 层，LSTM 在内部对记忆状态进行门控处理，解决了梯度消失问题。RNN主要有以下应用：

1. 文本生成：通过一个输入词（或句子），得到随机的输出文本；

2. 机器翻译：将一个输入序列转换为确定的输出序列；

3. 图片摘要：通过 CNN 将图片转换为向量，然后将输入向量转换为输出文本；

4. 多变量时间序列异常检测：研究中；

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