定义序列
。
证明这个数列的极限
存在且有限。
证:
1.观察递推关系:
给定的递推关系式为
，且初始条件
。
2.分析增长趋势:
由于
，序列
是单调递增的。接下来，我们考虑
的增长量
。
3.利用比值法分析:
设%3Da_n)
,则%3Df(n)%2B%5Cfrac%7Bf(n)%5E2%7D%7Bn%5E2%7D)
。考虑比值%7D%7Bf(n)%7D%3D1%2B%5Cfrac%7Bf(n)%7D%7Bn%5E2%7D)
。由于)
是递增的，且%3C1)
，可以推断出的增长速度随着
的增大而减缓。
4.估计增长上限：
由于的增长速度减缓,我们可以找到一个足够大的
,使得对于所有
，有%7D%7Bn%5E2%7D%3C1)
。因此，对于，有%7D%7Bf(n)%7D%3C2)
，即的增长速度被限制在了一个常数倍以内。
5.证明极限存在且有限:
因为，且序列单调递增，假设
（这里的2是一个合理的猜测，可以根据具体情况调整）。
当
时，
成立。
假设当
时，
成立。
那么当
时, 
。
因为，所以
。
则
。
当
足够大时，
非常小，且，所以
。
由数学归纳法可知，对于所有的，
。
所以序列
有上界。
又因为序列单调递增，根据单调有界定理，极限
存在。
6.结论:
证明了极限存在并且有限。
