概率论笔记

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独立事件与互斥事件之辨析

A 与~B 为样本空间 \Omega 的两个随机事件，则有以下定义：

  1. 独立事件:

    A 的发生不影响~B~ 的发生，同时~B~ 的发生不影响~A~ 的发生。用数学语言描述为

    P(A|B)=P(A),\qquad P(B|A)=P(B)

    即满足
    P(AB)=P(A)\cdot P(B)

则称 ~A~ 与~B~ 相互独立.

举例

A=\{\text{柯南第一次打靶击中10环} \},\qquad B=\{\text{柯南第十次打靶击中10环} \}

  1. 互斥事件:

    ~A~ 的发生必定伴随着~B~ 的不发生，同时~B~ 的发生必定伴随着~A~ 的不发生。若用集合的语言来形容即 ~A\cap B=\emptyset~

    即满足
    P(A+B)=P(A)+P(B)则称~A~ 与~B~ 相互斥.

    举例：

    A=\{\text{柯南第一次打靶击中10环} \},\qquad B=\{\text{柯南第一次打靶击中9环} \}

我想说

互斥事件与独立事件是两个不同的概念，其经常我搞混，总结一点
互斥事件之间在逻辑上是相互排斥的，不相容的；相独立事件之间在逻辑上互不制约

补充一点

两个事件之间不可能同时满足互斥与独立

prove:

​ 令事件~A,B 有 P(A)>0,P(B)>0~

​ ①假设~A,B~ 相互独立，得
P(AB)=P(A)\cdot P(B)\neq 0
由概率的加法性质得
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)\neq P(A)+P(B)
该式与互斥事件定义不符.

​ ②假设 A,B~相互斥，则
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)
推得 P(AB)=0\neq P(A)\cdot P(B)

则不是独立事件.

以上知识仅为个人理解并整理，如您发现错误，请无情地指出

初稿：2019/08/27

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