等价关系
等价关系定义: 集合X上的二元关系R称为等价关系, 如果R同时具有一下三个性质:
-
是自反的, 即
-
是对称的, 即如果
, 则
-
是传递的, 即如果
则
等价类定义: 设为
上的一个等价关系, 
, 的子集
称为
关于R的等价类,或记为的等价类
x的等价类常记为![[x]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bx%5D)
, 即![[x] = \lbrace y|y \in X \wedge xRy \rbrace](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bx%5D%20%3D%20%5Clbrace%20y%7Cy%20%5Cin%20X%20%5Cwedge%20xRy%20%5Crbrace)
等价类的性质
设是非空集合上的等价关系, 则
![\forall x\in X,[x] \neq \emptyset](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cforall%20x%5Cin%20X%2C%5Bx%5D%20%5Cneq%20%5Cemptyset)
-
,如果, 则![[x]=[y]](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bx%5D%3D%5By%5D)
-
,如果
%20%5Cnotin%20R)
, 则![[x]\bigcap [y] = \emptyset](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bx%5D%5Cbigcap%20%5By%5D%20%3D%20%5Cemptyset)
- 所有等价类的并集就是
集合的划分
设为非空集合, 的若干个子集形成的集族π称为的一个划分, 如果π具有性质:
(1). 
(2). 
, 若
, 则 
(3). 
称
中的元素为的划分
如果是的一个划分, 则当
时, 被称为的一个
-划分
等价关系与集合的划分
- 设是上的一个等价关系, 则的所有等价类的集合是的一个划分
- 设是集合的一个划分,令
%7Cx%2Cy%20%5Cin%20X%20%5Cwedge%20x%E4%B8%8Ey%E5%9C%A8%5Cpi%E7%9A%84%E5%90%8C%E4%B8%80%E5%88%92%E5%88%86%E5%9D%97%E4%B8%AD%20%5Crbrace)
, 则是上的一个等价关系,并且就是的等价类之集
由定理1, 2可得: 上的等价关系与的划分是一一对应的, 并且互相确定
商集
等价关系确定的划分是R的所有等价类之集 ![\lbrace [x]|x \in X \rbrace](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Clbrace%20%5Bx%5D%7Cx%20%5Cin%20X%20%5Crbrace)
设是上的等价关系, 由所确定的的划分也就是的所有等价类之集称为对的商集, 并记为
.
即: ![X/R = \lbrace [x]|x \in X, [x] 是x的等价类 \rbrace](https://math.jianshu.com/math?formula=X%2FR%20%3D%20%5Clbrace%20%5Bx%5D%7Cx%20%5Cin%20X%2C%20%5Bx%5D%20%E6%98%AFx%E7%9A%84%E7%AD%89%E4%BB%B7%E7%B1%BB%20%5Crbrace)
