上节课进一步研究了链表及其具有的一种固有属性--递归，并递归实现了链表元素的删除操作。本节课学习另外一种高效的数据结构--树。
1. 二分搜索树
树是一种天然的组织结构，在实际生活中非常常见，比如：
- 文件夹的存储结构
- 公司的人员组织架构
很多数据使用树结构存储以后，出奇的高效。树结构主要包括以下几种：
- 二分搜索树
- 平衡二叉树
- 红黑树
- 线段树等等
本节课学习二分搜索树，提到二分搜索树就不得不提二叉树。二叉树与链表一样，是一种动态数据结构，它也是由节点组成，但二叉树节点包含了两个地址变量，分别指向节点的左子树和右子树：
// 二叉树的节点
class Node{
E e;
Node left;
Node right;
}
二叉树具有很强的辨识性，特点明显：
- 有且只有一个根节点
- 每个节点最多有两个孩子
- 每个节点最多有一个父亲
另外，同链表一样，二叉树具有天然的递归属性：
- 每个节点的左子树也是二叉树
-
每个节点的右子树也是二叉树
Recursion
需要注意的是，二叉树不一定是满的
二分搜索树是二叉树的一种，在二分搜索树中：
- 每个节点的值大于其左子树的所有节点值
- 每个节点的值小于其右子树的所有节点值
- 每个子树也是一个二分搜索树
注意，二分搜索树存储的元素必须具有可比较性。基于这些内容，我们可以给出二分搜索树的一个基本结构：
public class BST<E extends Comparable<E>> {
private class Node{
public E e;
public Node left;
public Node right;
public Node(E e) {
this.e = e;
left = null;
right = null;
}
}
private Node root; // 树的根节点
private int size; // 树中所有节点的数量
public BST() {
root = null;
size = 0;
}
public boolean isEmpty() {
return size == 0;
}
public int getSize() {
return size;
}
}
注意，泛型声明时必须具有可比较性。
2. 增加、查找和遍历
2.1 添加元素
向二分搜索树中添加元素，需要保持二分搜索树的顺序性，可以采用递归写法和非递归写法。递归写法相对较简单，只要处理好边界点和添加逻辑即可：
- 当根节点为空时，直接创建新节点，添加到根节点中
- 当添加元素大于根结点元素时，向以根结点的右子树为根节点的二分搜索树中添加
- 当添加元素小于根节点元素时，向以根结点的左子树为根节点的二分搜索树中添加
// 公有方法添加元素
public void addElement(E e) {
// 调用私有添加方法向根结点所在树添加元素
root = addElement(root, e);
}
// 私有方法，向以node结点为根的二分搜索树中添加元素
// 返回添加元素后的根节点
private Node addElement(Node node,E e) {
if(node==null) {
node = new Node(e);
size++;
return node;
}
if(e.compareTo(node.e)<0) {
// 递归实现，添加元素小于node，向node的左子树中添加元素
node.left = addElement(node.left,e);
}
if(e.compareTo(node.e)>0) {
// 递归实现，添加元素大于node，向node的右子树中添加元素
node.right = addElement(node.right,e);
}
return node;
}
添加元素的非递归写法，与之前链表的写法相似，从实用性角度来看，非递归写法并不常用，这里不做研究。
2.2 查找元素
二分搜索树中不存在索引的概念，因此查找操作是指查询二分搜索树中是否包含某个元素。递归实现起来，也是非常简单的：
- 如果节点元素等于要查找的元素，则直接返回true
- 如果节点元素为空，返回false
- 如果节点元素大于要查找的元素，到节点的左子树中继续查找
- 如果节点元素小于要查找的元素，到节点的右子树中继续查找
// 查看二分搜索树中是否包含元素e
public boolean contains(E e){
// 调用私有方法
return contains(root,e);
}
// 查看以node 为根的二分搜索树中是否包含元素e
private boolean contains(Node node,E e) {
if(node==null) {
return false;
}
if(e.equals(node.e))
return true;
if(e.compareTo(node.e)<0) {
return contains(node.left,e);
}
else
return contains(node.right,e);
}
2.3 深度优先遍历
在二分搜索树中，一个非常重要的操作就是遍历。遍历就是把所有节点都访问一遍。在二分搜索树中，有三种遍历方法，以访问根结点是在访问左子树和右子树的之前、之后和之间来进行划分：
-
前序遍历：根节点在访问节点的左子树和右子树之前访问：
function traverse(node): if(node==null) return; 访问该节点 traverse(node.left) traverse(node.right)前序遍历是最自然，也是最常用的一种遍历方式：
// 前序遍历二分搜索树 public void preOrder() { preOrder(root); } // 前序遍历以node为根的二分搜索树 private void preOrder(Node node) { if(node==null) { return; } System.out.println(node.e); preOrder(node.left); preOrder(node.right); } -
中序遍历：根节点在访问节点的左子树和右子树之间进行访问：
function traverse(node): if(node==null) return; traverse(node.left) 访问该节点 traverse(node.right)结合二分搜索树的结构特性，可以发现，中序遍历可以将树中的元素从小到大排列一遍，因此二分搜索树也是一种有序的数据结构。
// 中序遍历 public void inOrder() { inOrder(root); } private void inOrder(Node node) { if(node==null) { return; } inOrder(node.left); System.out.println(node.e); inOrder(node.right); } -
后序遍历：根节点在访问节点的左子树和右子树之后进行访问
function traverse(node): if(node==null) return; traverse(node.left) traverse(node.right) 访问该节点代码实现：
// 后序遍历 public void postOrder() { postOrder(root); } private void postOrder(Node node) { if(node==null) { return; } postOrder(node.left); postOrder(node.right); System.out.println(node.e); }
下面，利用之前介绍的关于栈的知识，研究二分搜索树前序遍历的非递归实现。前序遍历的过程，可以用一个压栈和弹栈的流程表示出来：
- 对已在栈内的根结点，访问到该节点时，将该节点弹栈，然后立刻将其右节点和左节点依次压入栈内
- 当某个子树为空时，不进行压栈操作
- 当栈内元素为空时，遍历结束
// 前序遍历，非递归写法
public void preOderNR() {
if(root==null) {
return;
}
Stack<Node> stack = new Stack();
stack.push(root);
while(!stack.isEmpty()) {
Node node = stack.pop();
System.out.println(node.e);
if(node.right!=null) {
stack.push(node.right);
}
if(node.left!=null) {
stack.push(node.left);
}
}
}
2.4 层序遍历
前面介绍的几种遍历方法均属于深度优先遍历，本节介绍一种层序遍历方法，即逐层访问树的元素，这种遍历方式也叫做广度优先遍历。这里借助队列先进先出的结构特性来实现二分搜索树的层序遍历。
- 每次访问到一个节点时（出队），将该节点的左孩子和右孩子依次入队
- 当某个孩子为空时，不进行入队操作
- 当队列内元素为空时，遍历结束
// 层序遍历，广度优先遍历
public void levelOrder() {
if(root==null) {
return;
}
Queue<Node> queue = new LinkedList<>();
// 根节点入队
queue.add(root);
// 队列不为空时
while(!queue.isEmpty()) {
// 队首元素出队，记为cur节点
Node cur = queue.remove();
System.out.println(cur.e);
// cur节点的左孩子不为空时，入队
if(cur.left!=null) {
queue.add(cur.left);
}
// cur节点的右孩子不为空时，入队
if(cur.right!=null) {
queue.add(cur.right);
}
}
}
树的层序优先遍历通常能够更快地找到问题的解，常用于在路径规划中寻找最短路径。
3. 二分搜索树删除节点
3.1 删除最大值和最小值
本节讨论如何从二分搜索树中删除元素，先从最简单的情况开始：删除二分搜索树的最大值和最小值。基于二分搜索树的结构特性，最大值位于二分搜索树的最右边，最小值位于二分搜索树的最左边。因此，删除最大值和最小值可以很容易使用递归方法来实现：
-
删除最小值
// 删除二分搜索树中的最小值,返回删除后的根结点 public Node removeMin(){ // 如果根节点为空，抛异常（可选操作） if(root==null) { throw new IllegalArgumentException("Remove failed. The tree is empty."); } // 删除根节点所在树的最小值，并返回删除后的根结点 root = removeMin(root); return root; } // 从以node 为根的二分搜索树中删除最小值,返回删除后的根结点 private Node removeMin(Node node) { // 如果节点左孩子为空，说明该节点即为最小值，直接删除 if(node.left==null) { node = node.right; size--; } // 如果节点左孩子不为空，递归从以左孩子为根结点的二分搜索树中删除最小值，并返回删除后的根节点 else { node.left = removeMin(node.left); } return node; } -
删除最大值（与删除最小值类似）
// 删除二分搜索树中的最大值,返回删除后的根结点 public Node removeMax(){ if(root==null) throw new IllegalArgumentException("Remove failed. The tree is empty."); else { root = removeMax(root); return root; } } // 从以node 为根的二分搜索树中删除最大值,返回删除后的根结点 private Node removeMax(Node node) { if(node.right==null) { node = node.left; size--; } else { node.right =removeMax(node.right); } return node; }
3.2 删除最大值和最小值的第二种方法
上述删除操作，没能返回删除的元素值，不实用。这里介绍第二种删除方法，即先找到二分搜索树中的最大值和最小值所在节点，然后删除该节点。
-
查找最小值
// 找到二分搜索树中的最小值 public E minimum(){ if(size==0) throw new IllegalArgumentException("The tree is empty."); else { // 调用私有最小值函数 // 找到以root为根节点的二分搜索树中的最小值所在节点 Node minNode = minimum(root); return minNode.e; } } // 找到以node 为结点的二分搜索树的最小值所在结点 private Node minimum(Node node) { // 如果node节点的左孩子为空，表明node即为最小值所在节点 if(node.left==null) { return node; } else // node节点的左孩子不为空，则递归查找node节点左子树中的最小值所在节点 return minimum(node.left); } -
移除最小值的第二种方法（实际上不能称之为第二种方法，只加入了查找最小值操作）
// 移除最小值所在节点,返回移除的元素 public E removeMin2(){ if(size==0) { throw new IllegalArgumentException("The tree is empty."); } // 找到以root为根节点的二分搜索树的最小值所在节点 Node res = minimum(root); // 调用私有移除方法 // 移除以root结点为根的二分搜索树的最小值所在节点，返回移除后的根结点 root = removeMin2(root); return res.e; } // 移除以node结点为根的二分搜索树的最小值，返回移除后的根结点 public Node removeMin2(Node node) { if(node.left==null) { node = node.right; size--; } else node.left = removeMin2(node.left); return node; } -
查找最大值
// 找到二分搜索树中的最大值 public E maxmum(){ if(size==0) throw new IllegalArgumentException("The tree is empty."); else { // 调用私有最大值函数 // 找到以root为根节点的二分搜索树中的最大值所在节点 Node maxNode = maxmum(root); return maxNode.e; } } // 找到以node 为结点的二分搜索树的最大值所在结点 private Node maxmum(Node node) { // 如果node节点的右孩子为空，表明node即为最大值所在节点 if(node.right==null) { return node; } else // node节点的右孩子不为空，则递归查找node节点右子树中的最大值所在节点 return maxmum(node.right); } -
删除最大值的“第二种方法”
// 移除最大值的第二种实现，返回移除的元素 public E removeMax2() { if(size==0) throw new IllegalArgumentException("The tree is empty."); Node delNode = maxmum(root); root = removeMax2(root); return delNode.e; } // 移除以node为根的二分搜索树的最大值，返回移除后的根结点 private Node removeMax2(Node node) { if(node.right==null) { node = node.left; size--; } else { node.right = removeMax2(node.right); } return node; }
3.3 移除二分搜索树中的任意元素
前面介绍的移除最大值和最小值都比较简单，困难的是移除二分搜索树中的任意元素。实际上，可以分为三种情况来处理：
-
删除只有左孩子的节点
对只有左孩子的节点，直接返回该节点的左子树即可
node=node.left -
删除只有右孩子的节点
对只有右孩子的节点，直接返回该节点的右子树即可
node=node.right -
删除左右都有孩子的节点
对左右都有孩子的节点，最主要的问题是，删除该节点后，使用哪一个节点来替代该节点的位置，且能保证二分搜索树的结构不变。目前，广泛采用的是Hibbard在1962年提出的Hibbard删除法：1）首先从待删除节点delNode的右子树中，找到最小值所在节点sNode(sNode = minimum(delNode.right))；
minimum(delNode.right)=24
2）将sNode的左子树赋值为delNode的左子树(sNode.left = delNode.left)；
3）将sNode的右子树赋值为delNode右子树中删除sNode以后的二分搜索树(sNode.right = delMin(delNode.right))；
4） 删除delNode节点(delNode.left = delNode.right = null; delNode = sNode)
Java代码实现：
// 移除二分搜索树中的任意元素e
public void removeElement(E e) {
// 如果树为空，则抛异常（可选择操作）
if(size==0)
throw new IllegalArgumentException("The tree is empty.");
// 调用私有方法，从以root为根的二分搜索树中删除元素e
root = removeElement(root,e);
}
// 从以node为根结点的二分搜索树种删除元素e，返回删除后的根结点
private Node removeElement(Node node,E e) {
// 如果node为空，表明没有找到该元素
if(node==null) {
return null;
}
// 1. 如果node节点就是要删除的元素
// 分三种情况分别处理
if(e.equals(node.e)) {
// 1）待删除结点左子树为空的情况
if(node.left==null) {
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size--;
return rightNode;
}
// 2）待删除结点右子树为空的情况
if(node.right==null) {
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size--;
return leftNode;
}
// 3）待删除结点左右子树均不为空的情况
// 找到待删除节点右子树中的最小值作为新的节点
Node minNode = minimum(node.right);
// 新节点的右子树为待删除节点右子树中删掉最小值的树
minNode.right = removeMin2(node.right);
// 新节点的左子树为待删除节点的左子树
minNode.left = node.left;
// 待删除节点的左右子树清空
node.left = node.right = null;
// 返回新节点作为根节点
return minNode;
}
// 2. 如果要删除的元素小于node节点的元素，向node的左子树递归
else if(e.compareTo(node.e)<0) {
node.left = removeElement(node.left,e);
return node;
}
else { // 3. e.compareTo(node.e)>0
node.right = removeElement(node.right,e);
return node;
}
}
4. 总结
本节课主要学习了二分搜索树这样一种高效的数据结构。从二分搜索树的基本结构出发，介绍了如何使用递归法向二分搜索树中添加元素、查找元素以及二分搜索树的前序、中序和后序遍历的递归实现。借助之前栈的相关知识，实现了二分搜索树前序遍历的非递归实现；借助队列的相关知识又实现了二分搜索树的层序遍历。最后，介绍了如何从二分搜索树中删除元素，包括最小值、最大值以及任意指定的元素。主要难点在于如何删除任意元素，这里又细分了三种情况进行处理：待删除节点只有右孩子、只有左孩子以及左右都有孩子。对于左右都有孩子的情况，采用Hibbard删除法，从右孩子中找到最小值节点作为新的根节点。下节课学习集合与映射这两种数据结构，并深入分析二分搜索树的时间复杂度。
