我们常常有这样的体验：在骑自行车时，如果车子有向右倒的趋势，我们只需把车把向右稍稍转动一下，车子就能恢复平衡。同样，如果想要右转弯，只需把身体重心右倾，这样不需转动车把也能右转。一辆无法转动车把的自行车是无法骑走的。其中的物理原理是陀螺的回转效应，即陀螺在外力矩作用下的进动效应。
陀螺进动无疑是个有趣而耐人寻味的物理现象。不仅用小孩子们玩的陀螺就可以得到精彩的展示，引得人们去思考其中的奥妙，而且陀螺进动还在诸多领域甚至高科技领域有着广泛的应用。形象地说，对于陀螺这类转动惯量较大的东西，一旦旋转起来就好像具有了某种“力量”，即使受到外力的干扰，也能抗拒这种干扰而不至翻倒，表现为陀螺的自转轴绕着铅垂线旋转，即进动。
不仅小孩子们对这一现象感到神奇，历史上还吸引了不少物理学大家们的好奇和探索。其中最著名的当属量子力学理论的奠基人之一、慕尼黑学派的一代宗师索末菲。索末菲虽然一生与诺贝尔奖无缘，他的学生之中却有六人获得过诺贝尔奖，几十人成为第一流的教授，他学生的名字足以铺就一条20世纪物理学的星光大道。泡利一生桀骜不驯，唯独对索末菲敬重有加。索末菲在十九世纪末就发表过关于陀螺理论的专著。其中最为人所知的就是用角动量矢量解释自行车为何能保持平衡，今天也成了对于陀螺进动的标准解释。
现在就以最简单的陀螺模型为例，介绍一下这个标准解释。如下图所示，由力矩M矢量等于角动量J矢量对时间的变化率:
Δ J=MΔt，
由向量右手系判断出重力矩M矢量的方向，于是如图所示标出角动量的增量Δ J矢量的方向。其中J和J0分别表示此刻和上一时刻陀螺自转的角动量矢量，显然有矢量运算Δ J=J—J0。
设J和J0之间是在Δt的时间内转过的角度Δφ，由于Δφ很小，有 Δ J=JΔφ=IωΔφ。于是，最终求出陀螺进动的角速度：
Ω=Δφ/Δt=M/(Iω)。
可见，陀螺自转的角动量矢量——更简单地说就是陀螺的自转轴——以角速度 Ω=M/(Iω)在一个半顶角为θ的圆锥面上旋转。还可以看出，重力矩越大，也就是陀螺越偏斜、自转的角速度越小，陀螺就需要越大的进动速度来“抗倒伏”，直到最后翻倒。反之，陀螺的转动惯量越大，旋转起来稳定性就越好。下图中角动量矢量的变化说明了自行车右倾时仍能保持平衡的原因。
基于向量右手系的以上解释，十分简洁明快，让人充分体会到了更高一级的数理概念在解决难度逐级升高的实际问题时的威力。费曼在讲到用向量右手系处理回转效应时，就对这种抽象方式大加赞叹，并说这是在物理学习中进阶的不二法门。的确，不过角动量矢量这类物理概念还是抽象了些，我们有没有更直观一些的解释呢？
对此，我断断续续思考了好长时间。要想直观，就需要分析陀螺旋转起来时，组成陀螺的具体质点的受力情况。而要分析受力，就要知道具体质点的运动轨迹，哪怕是定性的也好。当然，用计算机软件是不难实现这一点的，即便如此，在头脑中建构这一轨迹也是个有趣的探索过程。显然，陀螺旋转起来，上面每个质点的运动可以分解为陀螺自转轴的转动和围绕陀螺自转轴的转动二者的叠加，这容易让人联想起摆线，即车轮线，如下图所示。我们比较感兴趣的是最后一种情况，考察的点在圆半径的延长线上。此种情况下，该点绕圆心运动的速率显然比圆心沿直线运动的速率要大，所以轨迹才会出现“回头”的交叉。
一日，我想到数学中的同余问题即模算术，本质就是把实数轴在一个圆周上缠绕，运算规则保持不变。那么，把上图最后一种情况里圆心的直线轨迹变成一个圆周，应该是很接近我们想要得到的轨迹的，如下所示：
不过要注意的是，由于陀螺自转轴在一个圆锥面上转动，陀螺上任一点的轨迹不是在一个平面内的，上面的图是空间轨迹，下面的是在一个平面上的投影。摆线是给我以重大启发的桥梁，和前述摆线最大的相通之处就是，点绕陀螺自转轴转动的速率显然比的陀螺自转轴转动的速率要大，轨迹出现“回头”的交叉。
对于陀螺上任一点来说，如平面投影图所示，对于交叉点A内侧的那部分轨迹，由于曲率半径小，受到的惯性力即离心力较大。而从力的方向上看，有使陀螺自转轴的倾角θ减小、即把自转轴拉回竖直状态的趋势；反之，A外侧的那部分轨迹曲率半径大，离心力小，力的方向有使倾角θ增大、更加远离竖直状态的趋势。如果对同一时刻陀螺上的各个点作一宏观考量，受力方向使倾角θ减小的那些点受到的离心力比受力方向使倾角θ增大那些点要大，于是整个陀螺受到的整体离心力有使自转轴回到竖直状态的趋势。这一力矩平衡了重力矩，这就是陀螺进动时保持不倒的奥秘。
这种解释显然比向量系解释直观许多。不过要指出的是，这种舍抽象求直观的态度是不足取的，从以上的探求过程中获得点乐趣也就够了。比较起来，显然还是向量系解释简明迅捷得多，毕竟更高级数理语言的发明是为了使问题变得更简单。尤其是深入微观领域之后，大部分问题已无法直观，抽象的力量会越来越得到体现。
陀螺的回转效应不难解释，这一效应却在生活中有大量的应用。近到玩陀螺、打水漂、枪膛里螺旋形的来复线，远到导弹等飞行器上安装的陀螺仪，都利用了回转效应抗干扰、确定一个方向不变的性质。在当今的信息时代，人们受传统机械陀螺仪的启发发明了种种电子陀螺仪，在比如手机的定位导航、保证拍照摄像的稳定性等方面有着广泛的应用。一个常见的例子是街头的平衡车，用陀螺仪固定一个方向是技术的关键。不得不提的还有法门寺地宫出土的那件国宝级文物鎏金双蜂团花纹银香囊。为了防止香囊晃动时香料流出，工匠们在内部装了两个平衡环，圆球滚动时，内外平衡环也随之滚动，香碗的重心却不动。从原理上来看也是一件陀螺仪，设计之精巧让人叹为观止。
最后想多谈几句，最早接触向量叉乘时许多人都觉得奇怪，这种右手系的定向固然给讨论问题带来了极大的便利，可这种定向的得来总让人觉得不太合常识。或者说第一个发明人是怎么想到的呢？比如力矩或角速度，为什么会想到它们是矢量指向平面以外？讨论中国古代西域胡旋舞或伊斯兰苏非旋转舞修行的学者们指出，古雅利安人普遍存在通过旋转把人的灵魂向上抽离身躯的巫术仪式。按照保罗•利科的说法，这是不是滋养了后来的数理抽象的“叙事知识”呢？卡尔•波普的证伪主义学说被后人简单概括为“大胆假设，小心求证”，对一种科学理论来说，求证固然要慎之又慎，而最初的理论预设很难说不是从整个族群一代代沉淀下来的集体无意识里溅起的灵感火花。只是这么一想，有点民科或民哲了，就此打住。
