测度变换与Girsanov定理

当概率论的学习进入随机变量的时候，不知道你有没有注意到，很多时候关于概率的讨论已经脱离了最初的概率三要素（probability triple）。

比如，谈及一个正态分布随机变量，并不会去细究它背后的，样本空间、可测集和概率测度。

随机变量，联系的是样本空间和可测集，与概率测度，并没有绝对的联系。

假如我们有一个均匀的骰子🎲，用随机变量 $X$ 代表投掷一次的结果。那么， $P(X=k)=\frac{1}{6}, (k=1,2,...,6), EX=\frac{7}{2}$ 如果，这枚骰子不再均匀，（相当于改变了概率测度，这时候可能 $P(\{1\})=\frac{1}{3}$ ，掷出1的概率变大了），那么，这个时候，同样的随机变量 $X$ ，它的分布，发生变化了，同样发生变化的还有它的期望和方差！

发现1：随机变量建立在 probability triple 上，如果概率测度发生变化，随机变量的分布也会发生变化。

用 $P$ 代表均匀骰子投掷的概率测度，以下用 $Q$ 表示一个新的概率测度： $Q(A)=\frac{\int_A X\;\mathrm{d} P}{EX}$ 容易验证 $Q$ 是一个新的概率测度！（这个积分可以看成是抽象空间上的勒贝格积分，两边“微分”，就有 $EX\cdot dQ=XdP$ ）

这时候，在测度 $Q$ 下，投掷出 $1\cdots 6$ 点的概率分别为： $\frac{1}{21},\frac{2}{21},\frac{3}{21},\frac{4}{21},\frac{5}{21},\frac{6}{21}.$ $E_QX=\frac{91}{21}=\int_\Omega X\frac{dQ}{dP}dP=\int_\Omega X^2dP \Big/ E_PX=\frac{E_PX^2}{E_PX}$

发现2：用一个随机变量可以诱导出一个新的概率测度，这个新的概率测度可以用原先随机变量的积分来表示。

个人以为这两点发现是理解Girsanov定理的关键。

假设在概率测度 $\mathbb{P}$ 下， $B_t$ 是标准布朗运动， $\mathcal{F}_t$ 是对应的 filtration，令 $M_{t}=e^{m B t-\frac{m^{2} t}{2}}$ ，改写成微分形式，就是 $d M_{t}=m M_{t} d B_{t}, \quad M_{0}=1$ 容易知道 $M_t$ 是一个鞅！接下来，定义一个新的测度（易证这是一个概率测度）： $Q_{t}(V)=\mathbb{E}\left[1_{V} M_{t}\right] ，\frac{d Q_{t}}{d \mathbb{P}}=M_{t}$

$t < s, Q_{t}(V)=\mathbb{E}\left[1_{V}M_{t}\right]=\mathbb{E}\left[E\left(1_{V} M_{t} | \mathcal{F}_{s}\right)\right] =\mathbb{E}\left[1_{V} E\left(M_{t} | \mathcal{F}_{s}\right)\right]=\mathbb{E}\left[1_{V} M_{s}\right]=Q_{s}(V)$

所以可以将这个新的测度简记为 $Q$ 。那么在测度 $Q$ 下 $E_QB_t=mt$ 。