计算机中的浮点数表示

1985年，随着IEEE标准754的推出，制定出了浮点数的统一表示以及运算的标准

目前，所有的计算机都支持这个标准，为科学应用程序在不同机器上的可移植性鉴定了基础

IEEE 754标准

计算机是不认识.的，那么二进制小数中的点需要被保存下来，它是如何保存的呢？

IEEE浮点标准用 V = (-1)^s * M * 2^E
表示一个浮点数

• 符号位s，决定这是一个正数还是一个负数，当s为0时为正数，1时为负数

• M位，即有效数字位，该值是一个二进制小数，它的范围为（大于1，小于2）

• E指数位，又称阶码位，作用是对浮点数加权

IEEE 754规定，数字系统中的浮点数是对数学中小数的近似，同时规定表达浮点数的0，1序列被分为三部分（三个区域）

浮点数表示.png

对于32位单精度浮点数来说，exponent的宽度为8，fraction位宽度为23表示实际的值M

表示规则：
如125.125₁₀

1. 首先将十进制小数转为二进制小数，得到1111101.001₂

2. 将二进制小数转为IEEE浮点数标准格式V，即1.111101001 * 2⁶

3. 对照以上图示，sign符号位为0，表示正数，exponent表示科学计数法的指数部分，注意：这里所填的指数并不是前面计算出来的6，而是等于实际指数值6加上一个（指数偏移值），对于32位单精度浮点数来说，偏移值为127，所以exponent值为127 + 6 = 133 ,二进制表示为10000101

4. fraction表示有效字位，又叫尾数，即2. 中二进制表示值得小数部分（为何是小数部分，因为1默认省略掉了）即111101001，再补齐至23位，即得到fraction处位表示为：11110100100000000000000

5. 因此32位单精度浮点数125.125_{10在计算机中被表示为
   0 10000101 11110100100000000000000 空格是为了区分三段得}

对于64位双精度浮点数来说，exponent段为11位，偏移值为1023，fraction段长度为52位（64 - 1 - 11）

最后

我们知道在任意两个不等的实数之间总有无穷多个两两不等的实数，但浮点数不是这样，浮点数是稀疏的，两个浮点数之间只有有限个浮点数，并且两个相邻的浮点数之间的距离可能很大，这就是精度的问题

比如两个相邻的32位单精度浮点数

01111110100000000000000000000001

01111110100000000000000000000000
在32位单精度浮点数中，他们两个是相邻的数，但他们的差值却高达1.014 * 10的31次方

也就是说，处于他们差值以内的数都无法表示

64位双精度浮点数不仅表示得数得范围扩大了，而且其所刻画得浮点数分布更加细密，相对误差也更小

但无论如何，浮点数终究只是实数（小数）得粗糙近似，不可能完全刻画实数，因为浮点数得位数终究是有限的，也就是说他所能表示的总是有限个有理数

最后，推荐一篇关于单精度和双精度浮点数的区别的好文
java浮点类型float和double的主要区别

实数转换流程图

实数转换流程.png