2020-07-06

这个量子计算，他就很exciting啊

本文只是随便写写，notation懒得标示了

H 是hadamard transform，是一个discrete fourier transform，

$H_n = H \otimes H_{n-1}$

对于2D 来说，如果我们把｜0> 看成（1,0） vector，｜1> 看成（0，1） vector， Hadamard的作用就是让他们沿着 $\theta = \pi /8$ 的这条轴在第三维旋转 180度，H |0> = $\frac{1}{\sqrt{2}} (|0>+|1>) = |+>$ 旋转到45度, $H |1> = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0> - |1>) = |->$ 旋转到-45度，

H 自己是一个unitary的matrix，HH=I ，正好他是个傅立叶变换。所以可以通过apply两次H来得到原先的值

CNOT gate 和Hadamard结合起来就有一些神奇的功效

比如 CNOT H｜00>我们就得到了 CNOT $\frac{1}{\sqrt{2}}(|00> + |10>) = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00>+|11>)$ 一个bell pair

Sigma x 是apply $\begin{matrix}0 & 1 \\1 & 0\end{matrix}$ 给vector， sigma z是apply $\begin{matrix}1 & 0 \\0 & -1\end{matrix}$ ，这其实就是pauli matrices，然后这俩和identity加上 sigma y就可以组成一个complex 空间的basis，还没看到sigma y，不知道为啥

然后这几个都可以和I tensor product 起来，比如 H $\otimes I 就是 \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\\1 & 0 & -1 & 0\\0 & 1 & 0 & 1\end{matrix}$ （省略常数项）可以看作只对第一个particle apply H

然后其实这俩是可以互相转化的， $H\sigma_z H = \sigma_x, H\sigma_x H = \sigma_z$ ，

然后这俩 apply sigma_x = {True,False} 和apply sigma_z={True,False} 这俩和(CNOT H)结合起来就正好可以用来superdense coding用来传递2 bit的信息