Linear/Logistic/Softmax Regression对比

Linear/Logistic/Softmax Regression是常见的机器学习模型，且都是广义线性模型的一种，有诸多相似点，详细对比之。原文见Linear/Logistic/Softmax Regression对比。

概述

Linear Regression是回归模型，Logistic Regression是二分类模型，Softmax Regression是多分类模型，但三者都属于广义线性「输入的线性组合」模型「GLM」。

其中Softmax Regression可以看做Logistic Regression在多类别上的拓展。

Softmax Regression (synonyms: Multinomial Logistic, Maximum Entropy Classifier, or just Multi-class Logistic Regression) is a generalization of logistic regression that we can use for multi-class classification (under the assumption that the classes are mutually exclusive).

符号约定

样本 $(x^{(i)}, y^{(i)})$
样本数 $m$
特征维度 $n$
Linear Regression输出 $y^{(i)}$
Logistic Regression类别 $y^{(i)}\in\{0,1\}$
Softmax Regression类别 $y^{(i)}\in\{1,\ldots,K\}$
Softmax Regression类别数 $K$
损失函数 $J(\theta)$
Indicator函数 $I\{boolean\}$

模型参数对比

Linear Regression，维度为 $(n \cdot 1)$ 的向量

$\theta = \begin{bmatrix} \vert \\ \theta \\ \vert \end{bmatrix}$

Logistic Regression，维度为 $(n \cdot 1)$ 的向量

$\theta = \begin{bmatrix} \vert \\ \theta \\ \vert \end{bmatrix}$

Softmax Regression，维度为 $(n \cdot K)$ 的矩阵

$\theta = \begin{bmatrix} \vert & \vert & \vert & \vert \\ \theta^{(1)} & \theta^{(2)} & \dots & \theta^{(K)} \\ \vert & \vert & \vert & \vert \\ \end{bmatrix}$

模型输出对比

Linear Regression输出样本的得分「标量」。

$h_\theta(x) = \theta^Tx$

Logistic Regression输出正样本的概率「标量」。

$h_\theta(x) = P(y = 1 | x; \theta) = \frac{1}{1+\exp(-\theta^Tx)}$

Softmax Regression输出为 $K$ 个类别的概率「向量」。

$h_\theta(x) = \begin{bmatrix} P(y = 1 | x; \theta) \\ P(y = 2 | x; \theta) \\ \vdots \\ P(y = K | x; \theta) \end{bmatrix} = \frac{1}{\sum_{k=1}^{K}{\exp(\theta^{(k)\top}x)}} \begin{bmatrix} \exp(\theta^{(1)T} x) \\ \exp(\theta^{(2)T} x) \\ \vdots \\ \exp(\theta^{(K)T} x) \\ \end{bmatrix}$

损失函数对比

Linear Regression是回归问题，损失函数一般取平方误差；Logistic/Softmax Regression是分类问题，损失函数一般用交叉熵。

分类问题，对样本 $(x, y)$ ，模型输出在类别上的概率分布，可统一表示为条件概率 $P(y\vert x)$ ，可以直接写出交叉熵表达式，也可以通过极大似然法则导出，最终效果一样。

Linear Regression。

$J(\theta) = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^m (h_\theta(x^{(i)} - y^{(i)}))^2$

Logistic Regression。条件概率可以表示为

$\begin{align} P(y|x) &= \begin{cases} h_\theta(x), && y = 1 \\ 1 - h_\theta(x), && y = 0 \end{cases} \\ &= h_\theta(x)^y(1-h_\theta(x))^{(1-y)} \\ &= I\{y=1\}h_\theta(x) + I\{y=0\}(1-h_\theta(x)) \\ &= I\{y=1\}P(y=1\vert x;\theta) + I\{y=0\}P(y=0\vert x;\theta) \end{align}$

对所有训练样本，损失函数为

$\begin{align} J(\theta) &= - \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=0}^{1} I\left\{y^{(i)} = k\right\} \log P(y^{(i)} = k | x^{(i)} ; \theta) \right] \\ &= - \left[ \sum_{i=1}^m (1-y^{(i)}) \log (1-h_\theta(x^{(i)})) + y^{(i)} \log h_\theta(x^{(i)}) \right] \end{align}$

Softmax Regression。条件概率可以表示为

$P(y|x) = I\{y=1\}P(y=1\vert x; \theta) + \dots + I\{y=K\}P(y=K\vert x; \theta)$

对所有训练样本，损失函数为

$\begin{align} J(\theta) &= - \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{K} I\left\{y^{(i)} = k\right\} logP(y^{(i)}=k|x^{(i)};\theta)\right] \\ &= - \left[ \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{K} I\left\{y^{(i)} = k\right\} \log \frac{\exp(\theta^{(k)\top} x^{(i)})}{\sum_{j=1}^K \exp(\theta^{(j)\top} x^{(i)})}\right] \end{align}$

对比式子Logistic/Softmax Regression，二者的损失函数形式完全一致，就是交叉熵损失。真实概率分布 $p$ 和预估概率分布 $q$ 的交叉熵为

$H(p,q) = - \sum_x p(x) \log q(x)$

对Logistic Regression来说，真实概率分布为 $[1, 0]$ 或 $[0, 1]$
对Softmax Regression来说，真实概率分布为 $[1,0,0]$ 、 $[0,1,0]$ 或 $[0,0,1]$

梯度对比

Linear/Logistic/Softmax Regression都是广义线性模型的一种，其形式都极其相似，包括梯度。

Linear Regression梯度

$\nabla_\theta J(\theta) = \sum_{i=1}^m x^{(i)}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})$

其中 $h_\theta(x) = \theta^Tx$ 。

Logistic Regression梯度

$\nabla_\theta J(\theta) = \sum_{i=1}^m x^{(i)}(h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)})$

其中 $h_\theta(x) = \sigma(\theta^Tx)$ 。

Softmax Regression梯度

$\nabla_{\theta^{(k)}} J(\theta) = \sum_{i=1}^m x^{(i)} [P(y^{(i)} = k | x^{(i)}; \theta) - I(y^{(i)} = k)]$

其中预测结果见上文模型输出对比内容，方便表示，分别对 $\theta^{k}$ 求导。

梯度形式非常的Intuitive，更新尺度正比于误差项！

The magnitude of the update is proportional to the error term $h_\theta(x^{(i)}) - y^{(i)}$ ; thus, for instance, if we are encountering a training example on which our prediction nearly matches the actual value of $y^{(i)}$ , then we ﬁnd that there is little need to change the parameters; in contrast, a larger change to the parameters will be made if our prediction $h_\theta(x^{(i)})$ has a large error (i.e., if it is very far from $y^{(i)}$ ).