向量空间 - 简书

0X00 向量空间的基本定义

我们定义向量空间 $V$ （其实就是一堆向量）它有以下性质：

$V$ 是同维向量构成的向量组
$\forall \alpha,\beta \in V, \forall k \in R, \alpha + \beta \in V, k\alpha \in V$

0X01 向量空间的基与坐标

我们把向量空间看做一组向量，那么它的最大无关组就是向量空间的一个基

接下来我们来说坐标的概念：

对 $V$ 来说它的一组基是 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$ 那么对于 $\forall x \in V$ 可唯一的表示：

$x = \lambda_1\alpha_1 + \lambda_2\alpha_2 + \cdots + \lambda_r \alpha_r$

那么 $(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_r)^T$ 为向量 x 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r$ 下的坐标：

$x = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots \alpha_r] \left[\begin{matrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\vdots\\\lambda_n\end{matrix}\right]$

由于向量空间的最大无关组可能不唯一，我们考虑以下几个问题：

基之间具有怎样的关系
向量 x 在不同基下的坐标系的关系

基之间的转换

由于最大无关组之间可以相互转换，所以不同基之间也可以相互转换

假设有这样两组基： $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 和 $\beta_1, \beta_2,\cdots, \beta$ ，则有

$[\beta_1, \beta_2,\cdots, \beta_r] = [\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r]\left[\begin{matrix}p_{11}&p_{21}&\cdots&p_{n1}\\p_{12}&p_{22}&\cdots&p_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\p_{1n}&p_{2n}&\cdots&p_{nn}\end{matrix}\right]$

我们把 $\left[\begin{matrix}p_{11}&p_{21}&\cdots&p_{n1}\\p_{12}&p_{22}&\cdots&p_{n2}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\p_{1n}&p_{2n}&\cdots&p_{nn}\end{matrix}\right]$ 称做 $P$ 把 $[\beta_1, \beta_2,\cdots, \beta_r]$ 称做 B 把 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_r$ 称做 A

所以有： $B = AP$ 解得： $P = A^{-1}B$

不同基下的坐标转换

有了 P 之后，我们可以完成不同基之间的转换：

假设我们在 A 基下有一个坐标 x 那么求得在 B 下的坐标 $x_B = Px$