乘法和逆矩阵

矩阵的下标习惯

第一个元素表示行，第二个元素表示列。

  • 矩阵的乘法公式
    例子：
    C_{3,4}=(row_{3\ of\ A}) \cdot (column_{4\ of\ B})
    =
    a_{31}b_{14} + a_{32}b{24} + \cdots = \sum_{k=0}^n a_{3k}a_{k4}

矩阵相乘的基础是A的行和B的列 维度数值相同
如A_{m \times n}, B_{n \times p} 结果是C_{m \times p}的矩阵

矩阵的乘法：

先介绍向量的两种运算，

A= \left( \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix} \right), B = \left( \begin{matrix} b_{1}\\b_{2} \end{matrix} \right)

  • 一个行向量乘以一个列向量称作向量的内积，又叫作点积，结果是一个数；
    AB= \left( \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} b_{1}\\b_{2} \end{matrix} \right) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2}
  • 一个列向量乘以一个行向量称作向量的外积，外积是一种特殊的"克罗内克积"，结果是一个矩阵.实际上就是行列各自相乘的组合
    BA= \left( \begin{matrix} b_{1}\\b_{2} \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} b_{1}a_{1} & b_{1}a_{2} \\ b_{2}a_{1} & b_{2}a_{2} \\ \end{matrix} \right)

所以对于矩阵而言

  • 方法1 常规方法，上面

  • 方法2 列方法 row x column 得到一个数字，组个相乘后相加
    A_{整体} 乘以 B_{的一个列}得到 C_{的一个列}。
    再把C_{各个列}叠加到一起，得到与B相同得的列。
    联想：多元一次方程组就是这种方式，未知数是一个列。

  • 方法3 行方法
    A_{的一行}乘以B_{的所有行}，得到C_{的一行}

  • 方法4 组合法，分块乘法
    \left[ \begin{matrix} A_{1} & A_{2} \\ A_{3} & A_{4} \\ \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} B_{1} & B_{2} \\ B_{3} & B_{4} \\ \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} A_{1}B_{1} + A_{2}B_{3} & \cdots \\ \cdots & C_{把整体矩阵切割，以基本的2行2列作为运算结果} \end{matrix} \right]

逆

公式：A^{-1} A = I = AA^{-1}

  • 高斯-若尔当消元(Gauss-Jordan elimination)
    E\left[A\ I \right] = \left[ I \ A^{-1} \right]
    左右都符合

  • singlar, no inverse matrix
    奇异矩阵，不可逆的矩阵。Ax=0， x非零。

求逆和解方程组是一致的。

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