说明：这套习题中既有课本题，也有中考、高考的真题和改编题。部分题目较难，大家先看一看，老师上课过程中会讲解。解题过程中可以翻阅教科书和教辅书，但一定 不要用搜题软件。

第1组：方程与多项式

$\boxed{\mathbb{Q1.}}$ 丢番图的墓志铭

希腊数学家丢番图（公元3~4世纪）的墓碑上记载着∶

“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半；儿子死后，他在极度悲痛中度过了四年，与世长辞。”

根据以上信息，请你算出∶

（1）丢番图的寿命；

（2）丢番图开始当爸爸时的年龄；

（3）儿子死时丢番图的年龄。

注：这是课本题，也是经典名题。

$\boxed{\mathbb{Q2.}}$ 托尔斯泰问题

一组割草的人要把两块草地的草割掉。大草地比小草地大一倍。全体组员先用半天时间割大草地，下午平均分为两组，一组仍留在大草地，到傍晚正好割完；另一组到小草地割草，到傍晚还剩下一小块。这一小块由一个人正好一天割完。

问：共有多少人参加割草？

注：经典名题

$\boxed{\mathbb{Q3.}}$ 牛吃草问题

有一块牧场，每天青草生长的速度是固定的。假如养 $20$ 头牛， $60$ 天把草吃完；假如养 $30$ 头牛， $30$ 天把草吃完。那么，假如养 $40$ 头牛，几天后把草吃完？

注：经典名题

$\boxed{\mathbb{Q4.}}$ 4 个连续正整数的乘积加上 1

注意以下几个实例：

$1\times2\times3\times4+1=25=5^2$

$2\times3\times4\times5+1=121=11^2$

$3\times4\times5\times6+1=361=19^2$

由此可以猜想：一般地， $4$ 个连续正整数的乘积加上 $1$ ，一定是平方数。试证明上述猜想。

$\boxed{\mathbb{Q5.}}$ 根式方程

在实数集内解方程：

（1） $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=1$

（2） $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=\sqrt{2}$

（3） $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=2$

$\boxed{\mathbb{Q6.}}$ 证明 $\sqrt{2}$ 是无理数

$\sqrt{2}$ 是人类最早发现的无理数。无理数与有理数的区别在于：任何一个有理数，必定可以表示为两个整数的比值。就是说，对于任意的有理数 $q$ , 必定存在整数 $m,n$ , 使得： $q=\dfrac{m}{n}$ . 而对于 $\sqrt{2}$ 则不可能找到这样的整数.

求证： $\sqrt{2}$ 不是有理数。

提示：自己能证明最好；假如证不出来可以翻书：《七年级下册》第58页。

$\boxed{\mathbb{Q7.}}$ 证明：素数（也就是质数）的数量是无限的。

提示：用反证法。

第2组：平面几何

$\boxed{\mathbb{Q8.}}$ 点到直线的距离

证明：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，重线段最短。

这是平面几何的一个重要定理。《七年级下册》第五章给出了该定理，但没有提供证明。可以参考以下内容：《八年级上册》第85页《最短路径问题》。

$\boxed{\mathbb{Q9.}}$ 三角形的重心定理

三角形的三条中线相交于一点。这一命题称为：『三角形的重心定理』。用大家熟悉的表达方式，可以将此命题改写成以下具体形式。

已知： $\triangle ABC$ 中， $D,E$ 分别为 $AB,AC$ 两边的中点， $CE,BE$ 交于点 $G$ . 连接 $AG$ 并延长，交 $BC$ 于点 $M$ .

求证： $BM=MC$ .

提示：《八年级上册》第十一章（第5页）给出了这一命题，但是没有提供证明。此命题的证明有两条思路，一是用面积公式，二是用三角形的相似关系。两种都掌握都好。

$\boxed{\mathbb{Q10.}}$ 中位线定理

三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

中位线定理是平面几何的一条重要定理。忘记了可以翻书：《八年级下册》第 48页。

$\boxed{\mathbb{Q11.}}$ 多边形的内角和

（1）证明：三角形的内角和等于 $180°$

（2）证明： $n$ 边形的内角之和等于 $(n-2)\times180°$ 。

提示：如果忘记了可以翻书：《八年级上册》第 22页。

$\boxed{\mathbb{Q12.}}$ 尺规作图：三角形的外接圆

经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心称为这个三角形的外心。

请在纸上自己作一个三角形，再作出这个三角形的外接圆。不需要用文字描述作图过程，务必保留作图痕迹。

提示：如果忘记了可以翻书：《九年级上册》第二十四章。

$\boxed{\mathbb{Q13.}}$ 尺规作图：正多边形

不需要用文字描述作图过程，务必保留作图的痕迹.

（1）作圆的内接正六边形；

（2）作圆的内接正五边形。

提示：正六边形的作图非常简单；正五边形则要复杂一些，目前教科书上也没有提供现成的作图方法。不过，把几方面的知识综合起来，还是能够解决的。请参考以下内容：《八年级下册》第27页；《九年级上册》第18页；《八年级上册》第79页；

$\boxed{\mathbb{Q14.}}$ 证明：同一段弧所对的圆周角等于圆心角的一半。

提示：圆周角定理是平面几何中的一个重要定理。如果忘记了，可以翻书。

$\boxed{\mathbb{Q15.}}$ 圆内的定值问题

已知：圆 $A$ 半径为 $4$ . $B$ 为圆 $A$ 内一定点，且 $AB=2$ . 过点 $B$ 的动直线 $l$ 与圆交于点 $C,D$ , 连接 $AC,AD$ , 过点 $B$ 作 $BE//AC$ 且交 $AD$ 于点 $E$ .

求证：线段 $AE,BE$ 的长度之和为定长，并求出具体值.

注：本题系根据考题改编。

$\boxed{\mathbb{Q16.}}$ 正方形内的直角三角形

10.如图，正方形 $ABCD$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $BC$ ， $CD$ 的中点， $AF$ 与 $DE$ 交于点 $G$ .

判断以下 4个结论是否正确. 如不正确请说明理由；如果正确请证明.

① $AF \perp DE$ ;

② $AD= BG$ ;

③ $GE＋GF=\sqrt{2} \,GC$ ;

④ $S_{\triangle AGB}=S_{ {四边形} ECFG}$ .

正方形内的直角三角形

说明：本题根据汕头市金平区中考模拟题改编.

第3组：勾股定理

$\boxed{\mathbb{Q17.}}$ 勾股定理

（1）叙述并证明勾股定理。

（2）叙述并证明勾股定理的逆定理。

勾股定理被称为「千古第一定理」，其证明方法多达数百种。作为高中生，至少应该掌握三种典型的证明。如果忘记了可以翻书：《八年级下册》第30页。

$\boxed{\mathbb{Q18.}}$ 正三角形内的定值问题

已知： $\triangle ABC$ 是等边三角形. 点 $Q$ 为 $\triangle ABC$ 内一动点; $QD \perp BC, QE \perp CA, QF \perp AB$ ; 点 $D,E,F$ 为垂足.

求证： $|QD| + |QE| + |QF|$ 为定值，并求此定值.

提示：这是初中数学的经典名题，有两条主要的解决思路，既可以用面积公式解决，也可以用三角形全等来解决。两种方法都掌握最好。

第4组：解三角形

$\boxed{\mathbb{Q19.}}$ $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle B =60°,\;\angle C =90°,\;AB=2.$

求： $BC,CA$ .

$\boxed{\mathbb{Q20.}}$ $\triangle ABC$ 中，已知 $\angle B =60°,\;a=4,c=5.$

求： $b$ .

$\boxed{\mathbb{Q21.}}$ $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边为 $a,b,c$ ，已知 $a=c=6, b=4.$

求： $\cos B$ .

$\boxed{\mathbb{Q22.}}$ 三角形内角平分线的性质

已知： $\triangle ABC$ 中，点 $D$ 为 $BC$ 边上一点， $AD$ 平分 $\angle BAC$ .

求证： $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$ .

提示：本题有两条解决思路，既可以用面积公式解决，也可以用相似三角形解决。两种方法都掌握最好。

$\boxed{\mathbb{Q23.}}$ 2010年上海卷题18

某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为 $\dfrac{1}{13},\dfrac{1}{11},\dfrac{1}{5}$ , 则此人（）

A.不能作出这样的三角形

B.能作出一个锐角三角形

C.能作出一个直角三角形

D.能作出一个钝角三角形

提示：这是2010年上海的高考题，但并不一定要用高中数学解答。应用面积公式和三角形基本性质，完全可以解决。

$\boxed{\mathbb{Q24.}}$ 探究：在锐角 $\triangle ABC$ 中，探究 $\dfrac{a}{\sin A},\dfrac{b}{\sin B},\dfrac{c}{\sin C}$ 三者之间的关系. （提示：分别作 $AB,BC,CA$ 三边上的高）.

提示：这是课本题。

$\boxed{\mathbb{Q25.}}$ 探究：三角函数之间的关系

初中数学教材上有一张常见锐角的三角函数表. 仔细观察这张表，有什么发现？能用你所掌握的知识作出证明吗？

函数值	$A=30°$	$A=45°$	$A=60°$
$\sin A$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos A$	$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$	$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\tan A$	$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$

第5组：综合

$\boxed{\mathbb{Q26.}}$ 根据影子长度，如何测量树高？请举例说明。

这是一个开放性问题。你可以自己编一个应用题来说明。例如：小明身高为...影子长度为...

$\boxed{\mathbb{Q27.}}$ 两座楼的距离

如图，设地球表面某地正午太阳高度角为 $\theta$ ， $\delta$ 为此时太阳直射纬度， $\varphi$ 为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是 $\theta=90°- |\varphi - \delta|$ . 当地夏半年 $\delta$ 取正值，冬半年 $\delta$ 取负值.

太阳高度角与纬度

如果在北京地区（纬度数约为北纬 $40°$ ）的一幢高为 $h_0$ 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于多少?

提示：课本题

$\boxed{\mathbb{Q28.}}$ 顶部受损的金字塔

顶部受损的金字塔

如图，一座金字塔被发现时，顶部已经荡然无存，但底部未曾受损．已知该金字塔的下底面是一个边长为 $130\,m$ 的正方形，且每一个侧面与底面成 $65°$ 角，这座金字塔原来有多高（结果取整数）?

提示：这是一个课本题。

$\boxed{\mathbb{Q29.}}$ 2020年理数全国卷A题3

埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为

金字塔

$A.\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} \qquad B.\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \qquad C.\dfrac{\sqrt{5}+1}{4} \qquad D.\dfrac{\sqrt{5}+1}{2}$

提示：这是2020年的高考真题。应用初中的数学知识，多想一下，是可以完成的。

$\boxed{\mathbb{Q30.}}$ 维纳斯的身高

维纳斯

古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ （ $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0.618$ ，称之为黄金分割比例）。著名的断臂维纳斯便是如此。此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是 $\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}$ 。若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 $105\,cm$ ，头顶至脖子下端的长度为 $26\,cm$ ，试估算其身高的范围。