高等代数理论基础52：Jordan标准形介绍

Jordan标准形介绍

若尔当块

定义：形式为 $J(\lambda_0,k)=\begin{pmatrix}\lambda_0&0&0&\cdots&0&0&0\\ 1&\lambda_0&0&\cdots&0&0&0\\ \vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1&\lambda_0&0\\ 0&0&0&\cdots&0&1&\lambda_0\end{pmatrix}$

的矩阵称为一个若尔当块,其中 $\lambda_0$ 是复数

由若干个若尔当块组成的准对角矩阵

$A=\begin{pmatrix}J(\lambda_1,k_1)\\ &J(\lambda_2,k_2)\\ & &\ddots\\ & & &J(\lambda_s,k_s)\end{pmatrix}$

称为一个若尔当形矩阵,其中 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$ 为复数,可相同

例：

$J(1,3)=\begin{pmatrix}1&0&0\\ 1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}J(1,3)\\ &J(4,2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\ 1&1&0&0&0\\ 0&1&1&0&0\\ 0&0&0&4&0\\ 0&0&0&1&4\end{pmatrix}$

都为诺尔当形矩阵

定理：设 $\mathscr{A}$ 是复数域上n维线性空间V的一个线性变换,则V中一定存在一组基, $\mathscr{A}$ 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵,且该若尔当形矩阵除去其中的若尔当快的排列顺序外,由 $\mathscr{A}$ 唯一确定,称为 $\mathscr{A}$ 的矩阵的若尔当标准形

推论：每个n级复矩阵A一定与一个若尔当形矩阵相似,该若尔当形矩阵除去其中若尔当块的排列顺序外由A唯一确定,称为A的若尔当标准形

注：若尔当形矩阵是三角矩阵,故 $\mathscr{A}$ 或A的若尔当标准形中主对角线上的元素即它的特征多项式的全部根(重根按重数计算)

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