歌德尔艾舍巴赫——一条美丽的黄金带
这个故事首先要从数学危机谈起，数学危机这个词听起来有点高大上，其实说白了很简单的，数学危机其实就是在数学的发展过程中所产生的一些自我矛盾的地方，任何一个系统在逻辑上要满足自洽、他洽、续洽。如果做不到就会产生自我矛盾，数学危机就是这样产生的。
第一次数学危机是无理数危机，在古希腊的时候，有一个学派叫做毕达哥拉斯学派，这个学派崇尚万物皆数，毕达哥拉斯说世界上万物都是由确切的数构成的。他最重要的一个理论成果就是毕达哥拉斯定理，在我们中国叫勾股定理，勾三股四弦五，有一天毕达哥拉斯的一个叫希帕索斯的学生就跑过来说：老师你太伟大了，三的平方加四的平方等于五的平方，这个这么美妙的秘密都被你发现了，不过老师啊，一的平方加一的平方等于几的平方呢？这毕达哥拉斯就抓瞎了，这怎么办呢？毕达哥拉斯想了想，不行把这货弄死吧！叫你丫多嘴！于是就把这家伙扔海里弄死了。
其实这个性质就叫做不可通约性， 在自然数环中是没有办法解决这个问题，这个问题的解决直到引入了无理数，引入到新的形式化系统才解决的。
第二次数学危机，是由芝诺悖论引起的极限危机，故事是这样的， 阿基里斯与乌龟，阿基里斯与乌龟赛跑，他的速度是乌龟的十倍，但是这个问题可以这样想当阿基里斯跑到乌龟的那个位置的时候乌龟又向前走了一段距离，而再重复这个动作的时候，阿基里斯到下一个乌龟所在的点时，乌龟又已经不在那个点上了，那么实际上阿基里斯永远不可能追上乌龟的，这就是芝诺悖论。这个思想和庄子所说的一尺之锤日取其半，万世不竭是一个道理。这个悖论其实是说明数的无穷特性，我们总以为说自然数域是无穷的，一个个层叠加上去有无数多个数，但其实数与数之间了也是无穷多个的，比如说1和2之间有多少个数呢？答案是无数个，在无穷的性质中，你只要能找出一个数和2已经是最接近了，但你总能构造一个数比原来那个数和2之间的距离更小，这个概念在数学中就叫做极限。第二次数学危机的直接后果就是导致了我们现在的高等数学中的微分与积分的出现，人们对纯形式化符号的数学其边界的理解又更深了一层。
第三次数学危机是在1897年出现的，这也是一个悖论论引出的，叫做理发师悖论，也叫罗素悖论。具体的内容就是一个小镇上的一个理发师说，我只给这个小镇上不给自己理发的人理发。如果这句话是真的，那么他到底要不要给自己理发呢？
这个悖论涉及到了集合的知识。我尽量用简单的方法去解释这个问题。但要解释这个先要讨论其他一些问题。
我们来看一个简单的悖论，
第一句话，下面这句话是真的。
第二句话，上面这句话是假的。
那么好，问题来了，这两句话是自相矛盾的，你接受其中一条就必须放弃另一条，不然你自身的逻辑就会出现混乱。当然还有更极端的一种情况，我说的这句话是假话。想必到这里大家已经糊涂了，这些悖论到底说的是什么？
也许从其他的角度可以解释这些悖论。
先来看看我比较喜欢的一个画家的画，艾舍尔的《瀑布》。
恩，图有点小，不过应该能看清楚，其中的奥妙大家可以自己体会，与之类似的画还有很多，比如《城堡》。
这些画其实都是利用人眼对环境的识别机制所产生的错觉，在走完一个上下的过程之后又重新回到了原点。除了绘画以外，还有一个比较有意思的领域就的音乐，在古典音乐里面有一种叫做卡农。作者使用一种巧妙的编曲手段，使得一个上升音阶在进行完之后，又重新回到了原点。这种卡农就叫做无限升高的卡农，这种卡农和艾舍尔的画有异曲同工之妙。
好了说了这么多我想大家都迷糊了。我到底想说什么？包括画与音乐，其实都与数有一样的性质，这在计算机科学中就叫做循环与嵌套。
我以前常有一个想法就是如果给我一个神灯我要许一个愿望的话我就许我要再许一百个愿望。这个问题就回到了之前的那个理发师悖论了。这样的话愿望就会无穷无尽了对不对？但是这是不可能的，一旦这么做，你就会陷入理发师一样的矛盾。
就和解决数学危机的方法是一样的，在原本的形式化系统中，已经无法解决这种内部矛盾。只能将这种矛盾上移，产生新的，讨论范围更广的形式化系统。比如你要许一个再来一百个愿望的愿望，你必须有一个更高级的愿望，我们可以叫做元愿望。而如果要实现元愿望就需要实现元元愿望。这样一直下恐怕我们只能去找造物主了。
但是这种思想在数学中就有一个专有名词——递归。
在计算机中这就是最基本的编程方法，所以任何一种计算机的编程语言要描述所有的程序和动作只需要三种动作——循环、嵌套、递归，就可以描述整个程序的运行流程。这就是形式化系统的力量。
下面就是整个讨论的核心内容，什么是形式化系统。形式化系统并不一定是数学，其实质是现实到抽象世界的映射。而这种映射到的东西其实是不重要的。比如说这种映射可能产生绘画，产生音乐的艺术，也可以是数学，这几个映射可以是同构的。
同构是一个数学上的名词，原本是描述数学中代数关系的相似性的。但其实对于从现实到形式化系统只要满足相似的映射关系两者之间都是同构的。
甚至我们可以说两个人之间都是同构的，因为满足基本的映射关系（当然人与人是不同的）。
生活中一个最简单的同构关系，就是声音和留声机，声音通过留声机在唱片上形成了深浅不一的纹路。这种纹路和声音之间必然是同构的，这其实是声音系统在物理碟片上的映射。
对，其实形式化系统就是现实世界在抽象世界的一个映射。只不过映射的方法多种多样，但这种映射关系的逻辑结构都是一致的。
在数学中一个比较成功的例子就是几何学。想必大家都学过对吧？在传统的欧几里德几何学中我们知道，欧几里得仅从几条公理就推出了整个几何学的大厦，但这一定是对的吗？其实这只是平面几何，因为最开始的几条公理就不一定是绝对的，所以最后的结论也不是绝对的。这只是平面当中的几何，但我们生活的世界真的是平面的吗?显然我也不知道，但只要这种描述关系是正确的就可以了。我们就可以用这种几何学来形容我们的世界，至于其他的非欧几里德几何学又是其他的形式化系统了。
那么好我们理解了什么是形式化系统了，我们就必须理解形式化系统的本质。所谓形式化系统其实就是抽象化的信息载体。
这里不就不说信息论中对信息的定义了，仅讨论一下信息的载体语言。首先语言其实就是一种形式化的系统，语言的最大作用就是承载信息。而这种信息的承载也是有很明确的层次的。就以这篇文章来说，对于一个不懂中文的小孩来说这篇文章就是一个电子文档，这种判断并不需要你认识中文，只需要你懂得一些常识就可以了，这叫做信息的框架。第二层，你也不用理解这是什么内容，但你也很容易判断出来这是用中文写的文章，这叫做外在的信息表现。第三层就必须要你用中文的知识去理解这篇文章所表达的信息，这就是信息的内在。但这还没有完，在任何一种文字中，其所表达的很可能是在文字之外的东西，这个就叫做隐喻。对于一个外星人来说，如果得到了这篇文章它很容易判断里面有信息，它所需要做的就是把这信息里的东西提取出来，翻译成他们自己的文字就可以了，是不是觉得很眼熟？
对！这个过程也是同构，只不过在不同的信息系统中同构可能会有一些细微的差别。
比如在英语中，对一个不认识的词总可以很轻松的读出来，因为英文是典型的表音文字，其中含有大量的语音信息，但每个中文汉字都必须要有人教才能读出来，这也就是为什么会有这么多人会读错字的原因。相反汉字中的语意信息很多，很多字一写你不一定认识但常常可以猜出什么意思，这也是为什么解读甲骨文要比解读线性文字容易得多的原因。
总之这些语言系统其实都是形式化的信息载体，而其中他们之间其实都是同构的。
好了，我要放大招了。那么人体是不是形式化系统呢？是的，也是，其实人体也是一套信息的处理机制，就以最简单的人眼来说吧？我们都知道人是通过视网膜来读取信息的呢？其实原理都是一样的，视神经只能感觉到光的强弱变化，也只需要将光在单个细胞上所产生的刺激转化成电信号就可以了。对！人眼就是一个传感器，只不过构造十分精巧，而他所解读的基本信号和计算机是一样的。都是二进制信息，但二进制和十进制在数学意义上是同构的。只是一种形式化符号而已。对！人脑对信息的处理方法在底层和电脑是一样的。
所有的现实现象，都可进行抽象，而实际上这两种形式系统是互通的，是互相影响的。人其实也只是信息的载体，也通过一套形式化系统来处理信息，从某种意义上来说人就是一个函数，接受外部系统的信息，转化成内部信息的形式化，然后处理信息后又转化成新的形式信息输出。想到什么了？留声机，对！性质是一样的。
讲到这里我就要翻底牌了，那人与人的区别在哪呢？
答：形式化系统中，系统的范围与符号量的不同。接受外部信息是一样的，怎样才会有不同的输出呢？数学危机已经告诉了我们答案。当你在有理数域解决不了问题的时候，就出现了不可通约性。当在有穷范围内解决不了问题的时候就出现了极限与无穷，当在集合内部产生悖论的时候就需要引入元命题和嵌套将问题分层。在实数域内解决不了问题的时候，自然就出现了虚数。
解决形式化系统内部矛盾的方法就是拓展这个系统，增加这个系统的符号量。这也就是为什么有的人语言贫瘠，想象力匮乏，因为他没有接触过，所以他不可能有那么好的想象力。
什么是专家？专家就是掌握了更多的专业词汇，他们在某个领域有更深的理解，懂得更多的在语言上的符号的意义。
这些语言上的符号所表达的信息其实是更深入的，但我们一般人是很难理解的。比如说一个精通音乐的人，只要提出C小调马上就能知道那是一个什么样的旋律，因为他脑海中建立了这样的一个形式化系统的抽象，而我们一般人的脑海中是没有这样的映射的。同样的在不同的文化中这种效果也是不同的，英国人就更能分辨手套的不同，为什么？因为在他们语言系统中Glove和mitten压根就是两个东西。同样对于北方人来说，很多人直接都分不清粉和粉丝的区别，而这对于一个南方人来说是很容易的。
对这就是形式化系统的力量。这也是为什么小地方不与外人接触的村庄中民风都比较淳朴的原因，因为他们所使用的语言中的符号量太小了，很多东西都没有办法思考。对！所有的思考都是通过形式化系统实现的，当然这种系统不一定是语言，也可以其他什么东西，但是一但这种符号量过少，思维就容易迟钝。
我们都知道古汉语中有很多通假字对不对？其实原因很简单，因为那个时候压根就没有那么多字，整个论语几乎把当时所有的字都用完了，也就两千多个字，那要表示意思怎么办？只能通假了。
所以要成为一个会思考的人应该怎么办？
答：不断拓展你身体内的形式化系统，接受、创造更多符号、概念，拓展你的域，这样在写作、思考，讨论问题你的思维才能够更活跃，因为思想是建立在你所能抽象的形式化系统之上的，这个系统越完善，你所能理解的知识也就越多。
