高等数学——曲线积分与曲面积分

1. 对弧长的曲线积分

1.1 定义

函数 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上有界，将 $L$ 分成 $n$ 个小段，设第 $i$ 段的长度为 $\Delta _{S_{i}}$ ， $(\xi_i, \eta_i)$ 为第 $i$ 个小段上任意取定的一点，则函数 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上的曲线积分为
$\int_{L}f(x, y)ds = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i)\Delta_{s_{i}}$

1.2 性质

性质 1 设 $\alpha,\,\beta$ 为常数，则
$\int_{L}[\alpha f(x, y) + \beta g(x, y)]ds = \alpha \int_{L}f(x, y)ds + \beta \int_{L}g(x, y)ds$

性质 2 如果积分弧段 $L$ 可分成两段光滑曲线弧 $L_1$ 与 $L_2$ ，则
$\int_{L}f(x, y)ds = \int_{L_1}f(x, y)ds+ \int_{L_2}f(x, y)ds$

性质 3 如果在 $L$ 上， $f(x, y) \leqslant g(x, y)$ ，则有
$\int_{L}f(x, y)ds \leqslant \int_{L}g(x, y)ds$
特殊地，有
$|\int_{L}f(x, y)ds | \leqslant \int_{L}|f(x, y)|ds$

1.3 计算法

定理设 $f(x, y)$ 在曲线弧 $L$ 上有定义且连续， $L$ 的参数方程为
$\left\{\begin{matrix} x = \phi (t)\\ y = \psi (t) \end{matrix}\right.\quad (\alpha \leqslant t\leqslant \beta )$
其中， $\phi (t), \psi (t)$ 在 $[\alpha, \beta]$ 上具有一阶连续导数，且 $\phi'^{2}(t) + \psi'^{2}(t) \neq 0$ ，则曲线积分 $\int_{L}f(x, y)ds$ 存在，且
$\int_{L}f(x, y)ds = \int_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t), \psi (t)]\sqrt{\phi'^{2}(t) + \psi'^{2}(t) }dt \quad (\alpha < \beta) \tag{1}$

如果曲线 $L$ 由方程 $y = \phi (x)\,\,(x_0 \leqslant x\leqslant X)$ 给出，那么可以把这种情形看着特殊的参数方程
$x = t, y = \phi (t)\,\,(x_0 \leqslant t\leqslant X)$
则公式 $(1)$ 便为
$\int_{L}f(x, y)ds = \int_{x_0 }^{X}f[x, \phi (x)]\sqrt{1 + \phi'^{2}(x)}dx\,\,(x_0 < X)$

2. 对坐标的曲线积分

2.1 定义

2.2 性质

2.3 计算法

对坐标的曲线积分，我们必须注意积分弧段的方向。

设 $P(x, y), Q(x, y)$ 在有向曲线弧 $L$ 上有定义且连续， $L$ 的参数方程为
$\left\{\begin{matrix} x = \phi (t)\\ y = \psi (t) \end{matrix}\right.$
当参数 $t$ 单调的由 $\alpha$ 变到 $\beta$ 时，点 $M$ 从 $L$ 的起点 $A$ 沿 $L$ 运动到终点 $B$ ， $\phi (t), \psi (t)$ 在以 $\alpha$ 及 $\beta$ 为端点的闭区间上具有一阶连续导数，且 $\phi'^{2}(t) + \psi'^{2}(t) \neq 0$ ，则曲线积分 $\int_{L}P(x, y)dx + Q(x,y)dy$ 存在，且
$\int_{L}P(x, y)dx + Q(x,y)dy \\=\int_{\alpha }^{\beta }\{P[\phi (t), \psi (t)]\phi' (t) + Q[\phi (t), \psi (t)]\psi' (t)\}dt$

3. 两类曲线积分之间的关系

$\int_{L}Pdx + Qdy = \int_{L}(P\,cos\,\alpha + Q\,cos\,\beta )ds$
其中 $\alpha (x, y), \beta (x, y)$ 为有向曲线弧 $L$ 在点 $(x, y)$ 处得切向量的方向角。

用向量形式的表达方式如下
$\int_{\Gamma }\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r} = \int_{\Gamma }\mathbf{A}\mathbf{ \tau }ds$
其中 $A = (P, Q, R), \tau = (cos\,\alpha ,cos\,\beta ,cos\,\gamma )$ 为有向曲线弧 $\Gamma$ 在点 $(x, y,z)$ 处的单位切向量， $d\mathbf{r} = \mathbf{ \tau }ds = (dx, dy, dz)$ ，称为有向曲线元。

4. 格林公式

4.1 预备知识

(1) 对于平面区域 $D$ 的边界曲线 $L$ ，规定 $L$ 的正向如下：当观察者沿 $L$ 这个方向行走时， $D$ 内在他近处的那一部分总在他的左边。如图， $L$ 的正向是逆时针方向， $l$ 的正向是顺时针方向。

image.png

(2) 设 $D$ 为平面区域，如果 $D$ 内任一闭曲线所围的部分都属于 $D$ ，则 $D$ 为平面单连通区域，否则称为复连通区域。

4.2 定义

设闭区域 $D$ 由分段光滑的曲线 $L$ 围成，函数 $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $D$ 上具有一阶连续偏导数，则有
$\iint_{D}(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \oint_{L}Pdx + Qdy \tag{1}$
其中 $L$ 是 $D$ 的取正向的边界条件。

(1) 对于复连通区域 $D$ ，格林公式 $(1)$ 右端应包括区域 $D$ 的全部边界的曲线积分，且边界的方向对于区域 $D$ 来说都是正向的。

(2) 在公式 $(1)$ 中取 $P = -y, Q=x$ ，即得
$2\iint_{D}dxdy = \oint_{L}xdy - ydx$
上式左端为闭区域 $D$ 的面积 $A$ 的两倍，因此有
$A = \frac{1}{2}\oint_{L}xdy - ydx$

定理 1 设区域 $G$ 是一个单连通域，函数 $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 $\int_{L}Pdx + Qdy$ 在 $G$ 内与路劲无关（或沿 $G$ 内任意闭曲线的曲线积分为零）的充分必要条件是
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$
在 $G$ 内恒成立。

定理 2 设区域 $G$ 是一个单连通域，函数 $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 $P(x, y)dx + Q(x, y)dy$ 在 $G$ 内为某一函数 $u(x, y)$ 的全微分的充分必要条件是
$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$
在 $G$ 内恒成立。

推论设区域 $G$ 是一个单连通域，函数 $P(x, y)$ 及 $Q(x, y)$ 在 $G$ 内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 $P(x, y)dx + Q(x, y)dy$ 在 $G$ 内与路劲无关的充分必要条件是：在 $G$ 内存在函数 $u(x, y)$ ，使 $du = Pdx + Qdy$

5. 对面积的曲面积分

5.1 定义

函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上有界，将 $\Sigma$ 分成 $n$ 个小块，设第 $i$ 小块的面积为 $\Delta S_{i}$ ， $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 为 $\Delta S_{i}$ 上任意取定的一点，则函数 $f(x, y, z)$ 在曲面 $\Sigma$ 上的曲面积分为
$\iint_{\Sigma}f(x, y, z)dS = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_{i}$

5.2 计算法

$\iint_{\Sigma}f(x, y, z)dS = \iint_{D_{xy}}f(x, y, z(x, y))\sqrt {1 + z^2_x(x, y) + z^2_y(x, y)}dxdy$
其中 $D_{xy}$ 为 $\Sigma$ 在 $xOy$ 面上的投影。

6. 对坐标的曲面积分

6.1 定义

设 $\Sigma$ 为光滑的有向曲面，函数 $R(x, y, z)$ 在 $\Sigma$ 上有界，将 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 快小曲面 $\Delta S_i$ （ $\Delta S_i$ 又同时表示第 $i$ 快小曲面的面积）， $\Delta S_i$ 在 $xOy$ 面上的投影为 $( \Delta S_i)_{xy}$ ， $(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)$ 为 $\Delta S_{i}$ 上任意取定的一点，则函数 $R(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $x$ 、 $y$ 的曲面积分为
$\iint_{\Sigma}R(x, y, z)dxdy = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}R(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)( \Delta S_i)_{xy}$
类似的可以定义函数 $P(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $y$ 、 $z$ 的曲面积分为
$\iint_{\Sigma}P(x, y, z)dydz = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}P(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)( \Delta S_i)_{yz}$

函数 $Q(x, y, z)$ 在有向曲面 $\Sigma$ 上对坐标 $x$ 、 $z$ 的曲面积分为
$\iint_{\Sigma}Q(x, y, z)dxdz = \lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum_{i=1}^{n}Q(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)( \Delta S_i)_{xz}$

6.2 计算法

设积分曲面 $\Sigma$ 是由方程 $z = z(x, y)$ 给出，则有
$\iint_{\Sigma}R(x, y, z)dxdy = \pm \iint_{D_{xy}}R[x, y, z(x, y)]dxdy$
积分面取为 $\Sigma$ 的上侧（即 $cos\, \gamma >0$ ）时取正，否则取负。

$\iint_{\Sigma}P(x, y, z)dydz = \pm \iint_{D_{yz}}R[x(y, z), y, z]dydz$

$\iint_{\Sigma}Q(x, y, z)dxdz = \pm \iint_{D_{xz}}R[x, y(z, x), z]dxdz$

6.3 两类曲面积分之间的关系

$\iint_{\sum }Pdydz + Qdzdx + Rdxdy = \iint_{\sum }(P cos\,\alpha + Q cos\,\beta + R cos\,\gamma )dS$
其中 $cos\,\alpha, cos\,\beta, cos\,\gamma$ 是有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的法向量的方向余弦。

写成向量形式
$\iint_{\sum }\mathbf{A}\cdot d\mathbf{S} = \iint_{\sum }\mathbf{A}\cdot\mathbf{n}dS$
其中 $\mathbf{A} = (P, Q, R)$ ， $\mathbf{n} = (cos\,\alpha, cos\,\beta, cos\,\gamma)$ 为有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量， $d\mathbf{S} = \mathbf{n}dS = (dydz, dzdx, dxdy)$ 称为有向曲面元。

7. 高斯公式

设空间闭区域 $\Omega$ 是由分片光滑的闭曲面 $\Sigma$ 所围成，函数 $P(x, y, z)$ 、 $Q(x, y, z)$ 、 $R(x, y, z)$ 在 $\Omega$ 具有一阶连续偏导数，则有
$\iiint_{\Omega }( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dv =\bigcirc \!\!\!\!\!\!\!\!\! \iint_{\sum }Pdydz + Qdzdx +Rdxdy \tag{1}$
或
$\iiint_{\Omega }( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z})dv =\bigcirc \!\!\!\!\!\!\!\!\! \iint_{\sum }(P cos\,\alpha + Q cos\,\beta + R cos\,\gamma )dS$
其中 $\Sigma$ 是 $\Omega$ 的整个边界曲面的外侧， $cos\,\alpha, cos\,\beta, cos\,\gamma$ 是 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的法向量的方向余弦。

8. 斯托克斯公式

设 $\Gamma$ 为分段光滑的空间有向闭曲线， $\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的有向曲面， $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则，函数 $P(x, y, z)$ 、 $Q(x, y, z)$ 、 $R(x, y, z)$ 在曲面 $\Sigma$ （连同边界 $\Gamma$ ）具有一阶连续偏导数，则有
$\iint_{\sum }(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z})dydz + (\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x})dzdx + (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y})dxdy = \oint_{\Gamma }Pdx + Qdy + Rdz$
也可以写成
$\iint_{\sum }\begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ P & Q & Q \end{vmatrix} = \oint_{\Gamma }Pdx + Qdy + Rdz$
利用两类曲面积分之间的关系，也可以写成
$\iint_{\sum }\begin{vmatrix} cos\,\alpha & cos\,\beta & cos\,\gamma \\ \frac{\partial }{\partial x} & \frac{\partial }{\partial y} & \frac{\partial }{\partial z}\\ P & Q & Q \end{vmatrix}dS = \oint_{\Gamma }Pdx + Qdy + Rdz$
其中 $\mathbf{n} = (cos\,\alpha, cos\,\beta, cos\,\gamma)$ 为有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量

高等数学——曲线积分与曲面积分