X2的期望方差

已知随机变量 $X∼N(0,σ^2)$ ，证 $E[X^4]=3σ^4$ 。
(https://math.stackexchange.com/questions/620045/mean-and-variance-of-squared-gaussian-y-x2-where-x-sim-mathcaln0-sigma)

$EX^2=VarX+(EX)^2=σ^2+0=σ^2$
$E[X^4]=\int_{-\infty}^{\infty}X^4f(X)dx=\frac{1}{\sqrt{2πσ^2}}\int_{-\infty}^{\infty}X^4e^{−\frac{X^2}{2σ^2}}dX=3σ^4$
$E[X^{2n}]=(2n−1)!!σ^{2n}$
$VarX^2=EX^4−(EX^2)^2=3σ^4−σ^4=2σ^4$

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