28.1 线性判别分析（LDA）

• Linear Discriminant Analysis
  • 用途：数据预处理中的降维，分类任务
  • 历史：Ronald A. Fisher在1936年提出了线性判别方法
  • 目标：LDA关心的是能够最大化类间区分度的坐标轴成分。将特征空间（数据集中的多维样本）投影到一个维度更小的 k 维子空间中， 同时保持区分类别的信息

  • 原理：投影到维度更低的空间中，使得投影后的点，会形成按类别区分，一簇一簇的情况，相同类别的点，将会在投影后的空间中更接近方法

    
    
  • 监督性：LDA是“有监督”的，它计算的是另一类特定的方向
  • 投影：找到更合适分类的空间

  • 与PCA不同，更关心分类而不是方差

    
    

• 数学原理

  
  
• Linear Discriminant Analysis

  • LDA分类的一个目标是使得不同类别之间的距离越远越好， 同一类别之中的距离越近越好

  • 每类样例的均值：

    
    

  • 投影后的均值：

    
    

  • 投影后的两类样本中心点尽量分离：

    
    
    
    

  • 只最大化J(w)就可以了？

  • X1的方向可以最大化J(w)，但是却分的不好

  • 散列值：样本点的密集程度，值越大，越分散，反之，越集中

  • 同类之间应该越密集些：

    
    

  • 目标函数：

    
    

  • 散列值公式展开：

    
    

  • 散列矩阵（scatter matrices）：

    
    

  • 类内散布矩阵 Sw = S1+S2：

    
    

  • 目标函数：

    
    

  • 分子展开：

    
    
• 𝑆𝐵称作类间散布矩阵

  • 最终目标函数：

    
    
  • 分母进行归一化：如果分子、分母是都可以取任意值的， 那就会使得有无穷解，我们将分母限制为长度为1

  • 拉格朗日乘子法：

    
    

  • 两边都乘以Sw的逆：

    
    

28.2 主成分分析（PCA）

• Principal Component Analysis
  • 用途：降维中最常用的一种手段
  • 目标：提取最有价值的信息（基于方差）
  • 问题：降维后的数据的意义?
• 向量的表示及基变换

  • 内积：

    
    

  • 解释：

    
    

  • 设向量B的模为1，则A与B的内积值等于A向B所在直线投影的矢量长度

    
    

  • 向量可以表示为(3,2) 实际上表示线性组合：

    
    

  • 基：(1,0)和(0,1)叫做二维空间中的一组基

    
    
• 基变换
  • 基是正交的（即内积为0，或直观说相互垂直）

  • 要求：线性无关

    
    
  • 变换：数据与一个基做内积运算，结果作为第一个新的坐标分量，然后与第二个基做内积运算，结果作为第二个新坐标的分量

  • 数据（3，2）映射到基中坐标：

    
    

  • 两个矩阵相乘的意义是将右边矩阵中的每一列列向量变换到 左边矩阵中每一行行向量为基所表示的空间中去

    
    
• 协方差矩阵

  • 方向：如何选择这个方向（或者说基）才能尽量保留最多的原始信息呢？ 一种直观的看法是：希望投影后的投影值尽可能分散

  • 方差：

    
    

  • 寻找一个一维基，使得所有数据变换为这个基上的坐标表示后，方差值最大

  • 协方差（假设均值为0时）：

    
    
• 协方差

  • 如果单纯只选择方差最大的方向，后续方向应该会和方差最大的方向接近重合。

  • 解决方案：为了让两个字段尽可能表示更多的原始信息， 我们是不希望它们之间存在（线性）相关性的

  • 协方差：可以用两个字段的协方差表示其相关性

    
    

  • 当协方差为0时，表示两个字段完全独立。为了让协方差为0，选择第二个基时 只能在与第一个基正交的方向上选择。因此最终选择的两个方向一定是正交的。

• 优化目标

  • 将一组N维向量降为K维（K大于0，小于N），目标是选择K个单位正交基，使原始数据变换到这组基上后，各字段两两间协方差为0，字段的方差则尽可能
    大

  • 协方差矩阵：

    
    

  • 矩阵对角线上的两个元素分别是两个字段的方差，而其它元素是a和b的协方差。

    
    

  • 协方差矩阵对角化：即除对角线外的其它元素化为0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列

  • 协方差矩阵对角化：

    
    

  • 实对称矩阵：一个n行n列的实对称矩阵一定可以找到n个单位正交特征向量

  • 实对称阵可进行对角化：

    
    

  • 根据特征值的从大到小，将特征向量从上到下排列，则用前K行组成的矩阵乘以原始数据矩阵X，就得到了我们需要的降维后的数据矩阵Y

    
    
    
    

28.3 LDA和PCA实验

In：

import numpy as np

In：

X = np.random.rand(10000,96)
y = np.random.randint(20,size=10000)

In：

from sklearn.model_selection import train_test_split
x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.25)

28.3.1 LDA

In：

from sklearn.discriminant_analysis import LinearDiscriminantAnalysis

In：

lda = LinearDiscriminantAnalysis(n_components=16)
# min(n_classes - 1, n_features)

In：

X_lda = lda.fit_transform(X,y)

In：

X_lda.shape

out：

(10000, 16)

28.3.2 PCA

In：

from sklearn.decomposition import PCA

In：

pca = PCA(n_components=48)

In：

X_pca = pca.fit_transform(X)

In：

X_pca.shape

out：

(10000, 48)