同济高等数学第七版1.10习题精讲（续）

4、证明任一最高次幂的指数为奇数的代数方程a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}=0至少有一实根，其中系数均为常数，n\in N

证明：设函数f(x)=a_0x^{2n+1}+a_1x^{2n}+\cdots+a_{2n}x+a_{2n+1}则它为连续函数，当|x|充分大时，可以得出f(x)大小和第一项有关。当x为正数，f(X)也为正，否则为负，所以满足零点定理。问题得证。

5、若f(x)在[a,b]上连续，a<x_1<x_2<\cdots<x_n<b(n\geq3)，则在(x_1,x_n)内至少有一点\xi，使得f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}

证明：闭区间上连续函数必有最大值M和最小值m，将各点的函数值加在一起会大于nm，小于nM。所以

m\leq\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}\leq M，根据介值定理，令f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+\cdots+f(x_n)}{n}

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