估计基础

估计基础

1.1 估计的数学问题

在对数据进行估计时，第一步就是建立数据的数学模型。由于数据固有的随机性，所以可以用它的概率密度函数PDF来描述它。

p(x[0];\theta)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}exp[-\frac{1}{2\sigma^2}(x[0]-\theta)^2]
上式表示x[0]的PDF，其中\theta是未知量，会影响x[0]的PDF。如下图所示

image.png
所以我们可以通过观测到的x[0]来推测未知量$\theta$的值，例如如果x[0]是个负数，那么$\theta_1$就值得怀疑。

但是**在实际问题中，我们可能无法得到x真实的PDF，所以需要选择一个不仅与问题的约束和先验知识一致的，而且在数学上也容易处理的PDF**。

1.2 估计量性能评估

如何评价所选择的估计量的性能，可以通过以下两个方面
  1. 估计量的数学期望与真值的关系。
  2. 估计量的方差大小。
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