引言

数学建模中有一类非常常见的问题：选择最优方案，被称为评价类问题。例如：携程、美团和飞猪，三个旅游平台哪个更适合新手旅游选择？苏州、杭州、南京哪个更适合端午节出游？班里哪位同学获得奖学金等等。要做出选择，首先需要知道有哪些评价指标，继续以选择旅游地为例，可以通过知网搜索相关文章or组内头脑风暴or利用网络搜索引擎资源，得到大家选择旅游地的考虑标准：风景、人文、拥挤程度等。在每个评价指标维度给方案评分，设定总分为5。“上有天堂，下有苏杭”可以认为苏州杭州的风景很好，于是给他们5分风景分，人文上南京作为六朝古都历史底蕴浓厚给5分。这类评价问题里每个方案的得分数据都是自己根据资料给出的，更适合层次分析法。而是否获得奖学金，可以根据各科成绩来筛选，数据客观存在，就可以使用下文提到的topsis方法。

方法简介

TOPSIS法（Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution）可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。TOPSIS 法是一种常用的利用原始数据进行综合评价的方法，其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则不为最优。其中最优解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标的最差值。以奖学金为例，假定是否获得奖学金只与语文、数学、英语这三科的成绩相关，你的成绩是80，90，100，而最好的成绩是100，100，100，最差的成绩是50，60，50。则你和最优解的距离为 $\sqrt{(100-80)^2+(100-90)^2+(100-100)^2}$ ；和最劣解的距离为 $\sqrt{(80-50)^2+(90-60)^2+(100-50)^2 }$ 。

操作步骤

step1：指标正向化。

具体在评价时会遇到的指标可以分成四类，①极大型指标，也称为效益型指标，数值越大越好，包括成绩、收入等②极小型指标，也称为成本型指标，数值越小越好，包括开销、死伤人数等③中间型指标，数值有一个中间的最优点，如ph值越接近7越好，血压越接近理想血压（收缩压120 mmHg,舒张压80 mmHg）越好④区间型指标，数值在一个区间内最好。如城市最优人口规模在1000到1200万之间（数字仅用来举例，无实际意义）。

根据不同类型的指标需要按照不同的公式进行正向化处理，即把所有指标转化为极大型。

极小型转化最容易，直接用max-x即可，若变量x为正数，也可直接取倒数。如开销最大是3000，x变量对应的开销为1000，转化后的值应为3000-1000=2000，或者直接取倒数为1/1000。

中间型转化公式为 $1-\frac{\vert x_{i} -x_{best} \vert }{max({\vert x_{i} -x_{best} \vert })}$ 以ph值为例，最优解 $x_{beat}$ 为7。一组数据有7，8，9三个变量，则 $x_{1} -x_{best}=7-7=0$ ， $x_{2} -x_{best}=8-7=1$ ， $x_{3} -x_{best}=9-7=2$ 。所以 $max(x_{i} -x_{best})=2$ 。取i=2，原始数据为8，转化后位1-（8-7）/2=1/2。

区间型转化较为复杂，若{ $x_{i}$ }为一组中间型指标序列，且最佳的区间为[a,b],那么正向化的公式如下：

区间型指标正向化公式

以人体体温为例，原始数据为35.2，35.8，36.6，37.1，37.8，38.4。最优区间为36到37，则a=36，b=37，M=max（36-35.2，38.4-37）=1.4，代入上述公式即可得到转换后的数据。

区间型指标示例：转换前后的温度数据

step2：正向化矩阵标准化

假设有n个要评价的对象，m个正向化的评价指标，则可以构建正向化矩阵。 $x_{12}$ 为第一个对象在第二个评价指标上正向化之后的得分。

正向化矩阵X

将标准化矩阵记为Z，则其中的每一个元素都等于对应矩阵X中的元素取值除以所在列元素的平方和开根号，即 $z_{ij} =\frac{x_{ij}}{\sqrt{\sum_{i=1}^n x_{ij}^2} }$ 。

step3：计算得分并归一化

n个评价对象，m个评价指标的标准化矩阵如下：

标准化矩阵Z

定义最大值为每列元素最大值的集合 $z^+=(max( z_{11}, z_{21}, ..., z_{n1}),max( z_{12}, z_{22}, ..., z_{n2}),...,max( z_{1m}, z_{2m}, ..., z_{nm}))$

定义最小值为每列元素最小值的集合 $z^-=(min( z_{11}, z_{21}, ..., z_{n1}),min( z_{12}, z_{22}, ..., z_{n2}),...,min( z_{1m}, z_{2m}, ..., z_{nm}))$

则第i个评价对象与最大值的距离为j个指标分别与最大值计算距离之后的求和：

$D_{i}^+=\sqrt{\sum_{j=1}^m (z_{j}^+-z_{ij} ) ^2 }$

同理，第i个评价对象与最小值的距离为j个指标分别与最小值计算距离之后的求和：

$D_{i}^-=\sqrt{\sum_{j=1}^m (z_{j}^--z_{ij} ) ^2 }$

那么，第i个评价对象未归一化的得分为 $S_{i} =\frac{D_{i}^- }{D_{i}^++D_{i}^-}$ ，即z与最小值的距离除以z与最大值的距离和z与最小值的距离之和。因为距离都是非负的，很明显 $S_{i}$ 取值在0和1之间， $D_{i}^+$ 越大， $S_{i}$ 越大，即越接近最优解。