2019-05-07

部分响应系统
- 奈奎斯特极限下的理想低通特性的冲激响应是 $sinc(x)$ 函数，可达到 $2Baud/Hz$ 的极限传输效率，但不可实现——从频域看是因为锐降，从时域看是因为拖尾按 $1/t$ 衰减。
- 奈奎斯特提出的升余弦滚降技术实现：频域是滚降、时域拖尾衰减快，但缺点是频带利用率有损失，达不到2Baud/Hz的极限传输效率
- 频域不是锐降，时域拖尾衰减速度比 $1/t$ 快，又能以2Baud/Hz的极限效率传输
1、无ISI系统（全响应系统）
- 达到极限频谱效率 $2Baud/Hz$ ，必须 $X(f) = T_s\cdot rect(fT_s)$ ，不可实现
2、通过相关编码引入ISI的系统（部分响应系统）
- 在发送滤波器前加了一个相关编码，作为 $h_1(t),H_1(f)$ 响应系统，之后的加入 $h_2(t),H_2(f)$ 响应系统
- 其中 $H_2(f) = T_s\cdot rect(fT_s)$ ，带宽是 $\frac{1}{2T_s}$ ，频谱效率是2Baud/Hz
- $rect(fT_s)$ 本身是不可实现的，但如果是 $Z(f)\cdot rect(fT_s)$ ，其中 $Z(f)$ 在 $rect(fT_s)$ 的边缘处是零，那么此时的 $rect(fT_s)$ 是可实现的。
第一类部分响应系统
- 二进制第一类部分响应系统又叫双二进制(duobinary)，其相关编码是 $c_n = a_n+a_{n-1}$ ，编码前的 $a_n \in \{\pm1\}$ ，编码后的 $c_n\in \{-2,0,+2\}$
- 相关编码部分的传递函数
  - $H_1(f) = 1+e^{-j2\pi fT_b} = e^{-j\pi f T_b}[e^{j\pi fT_b}+e^{-j\pi fT_b}] = 2\cos (\pi fT_b)e^{-j\pi fT_b}$
- 部分响应系统总的传递函数
  - $H_I(f) = H_1(f)H_2(f) = 2\cos (\pi fT_b)e^{-j\pi fT_b} \cdot [T_b\cdot rect(fT_s)]$
  - $= \begin{cases}2T_b\cdot \cos(\pi fT_b)e^{-j\pi fT_b},|f|\leq \frac{1}{2T_b}\\0,else \end{cases}$
- $|H_I(f)| = 2T_b\cos(\pi fT_b)$ 频谱不是锐降
- $\phi_1(f) = -\pi fT_b$
- $W = \frac{1}{2T_b}$
- $\eta = \frac{R_s}{W} = 2Baud/Hz$
- 冲激响应
  - $h_I(t) = h_2(t)+h_2(t-T_b) = sinc(\frac{t}{T_b})+sinc[\frac{(t-T_b)}{T_b}] = \frac{T_b^2sin\frac{\pi t}{T_b}}{\pi t(T_b-t)}$
拖尾的振荡幅度按 $\frac{1}{t^2}$ 衰减
抽样时刻非最大值
- $h_I(nT_b) = \begin{cases}1,n = 0,1\\0,n\neq 0,1 \end{cases}$
采样时刻输出
- $y(t) = \sum_{n}a_nh(t-nT_b)$
- $y(mT_b) = \sum_{n}a_nh[(m-n)T_b] = a_mh(0)+a_{m-1}h(1) = a_m+a_{m-1}$ (人为引入受控干扰)
最优的数据检测方法：最大似然检测
次优的数据检测方法：逐符号检测
假设初始值 $a_{-1}$ 收发都已知， $c_n = a_n+a_{n-1}$
以上方法存在差错差别（误码传播）的问题
加预编码可以解决差错传播问题
- 在相关编码前面加入预编码
- 预编码 $b_n = d_n \bigoplus d_{n-1}\implies d_n = b_n \bigoplus d_{n-1}$ 模二加
- 电平变换 $a_n = 2d_n-1$
- 相关编码 $c_n = a_n+a_{n-1} = 2(d_n+d_{n-1}-1)$ 算术加
- 模二判决 $b_n = d_n \bigoplus d_{n-1} = [\frac{c_n}{2}+1]_{mod 2}$
判决规则：
- $\hat{b_n} = \begin{cases}1,|y_n|<1\\0,|y_n|\geq 1\end{cases}$
引入一定的、受控的ISI（采用相关编码，在前后符号之间引入相关性，以改变信号功率谱特性），压缩传输频带，可达到2Baud/Hz的理论极限，同时可降低对时精度的要求。

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2019-05-07

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