高斯定理（by小毅）

平面、球、圆柱带电体的场强：高斯定理

知识点

1. 电场线

$\$ $\$ $\$ 在电场中引入的一些假想的曲线。曲线上每一点的切线方向和该点电场强度的方向一致;曲线密集的地方场强强，稀疏的地方场强弱。

2. 电通量

$\$ $\$ $\$ 1. 通过电场中某一面的电场线数
$\$ $\$ $\$ 2. $\Phi_e=\vec{E}\cdot \vec{S}=ES\cos \theta$ $\$ $\$ $\$ 其中 $\theta$ 为面的法向量与场强的夹角

3. 高斯定理

高斯面：通过静电场中的任意封闭曲面
封闭曲面外的电场线（连续性）穿过一个封闭曲面，从某点穿进去，一定能找到另一个点穿出，他们大小相等，符号相反，总和为0
所以外部电荷不影响电通量
$\oint\vec{E}_{\text{内外和}}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ；
高斯面的场强是由高斯面内外电荷共同产生的，因此，面内无电荷时，面上的场强不一定为0，面上的场强为0，也不一定说明面内无场强。

平面对称的电场和球对称带电体的电场

(a)做通过某场点的同心球面作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理： $内\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ；
(b)公式中 $内Q_{\text{内}}$ 是指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。
(c) 设该场点的电场强度，大小为 $E$ ，则该面的电通量必然为 $E\cdot4\pi r^{2}$ ，其中 $4\pi r^{2}$ 是高斯球面的面积。
(d)于是得到核心方程： $内E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可。

轴对称带电体的电场

(a)通过该场点做同轴圆柱作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理： $内\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ；
(b)公式中 $内Q_{\text{内}}$ 是指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。
(c) 设该场点的电场强度，大小为 $E$ ，则该面的电通量必然为 $E\cdot2\pi rh$ ，其中 $2\pi rh$ 是高斯面(圆柱)的侧面积。
(d)于是得到核心方程： $内E\cdot2\pi rh=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可。

QQ图片20190404202908.jpg

表达题

所有无限大的均匀带电的平面或平板，以及由它们彼此平行合成的各种组合体，均简称“平面带电体”。画图描述这类带电体的场强特征：

任何无限大均匀带电平板，做图示的高斯面，则其通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 计算出来必然为

解答：

IMG_20190411_220641.jpg

“平板带电体”求电场 $\vec{E}$ 的思路是：(a)通过某场点，在平板两边对称地做一个圆柱型表面作为高斯面，随后将对该面应用高斯定理： $内\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ；
(b)公式中 $内Q_{\text{内}}$ 指的这个高斯面所包围的体积内部的总电量。一定要想清楚电荷到底是如何分布的。在复杂的问题中，往往需要借助电荷密度来求解。
(c) 设该场点的电场强度，大小为 $E$ ，则该面的电通量必然为 $2ES$ ，其中 $S$ 是圆柱型表面的底面积。
(d)于是得到核心方程： $内2ES=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ ，解出 $E$ 即可。
现在有一个均匀带电的平板，电量体密度为 $\rho$ ，平板的厚度是 $D$ 。我们想求出该平板外部，距离中心为 $x$ 处的场点的电场( $x>D/2$ )。我们过该点，做图示的高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：

解答：

现在有一个均匀带电的平板，电量体密度为 $\rho$ ，平板的厚度是 $D$ 。我们想求出该平板内部，距离中心为 $x$ 处的场点的电场( $x$ < $D/2$ )。我们过该点，做图示的高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：

解答：

IMG_20190411_220701.jpg

某半径为 $R$ 的均匀带电实心球体，设某场点到球心的距离是 $r$ ，场强的大小是 $E$ 。现在做半径为 $r$ 的虚拟球面(高斯面)，则该面的电通量 $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}$ 为( )

解答： $\oint\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$
$4\pi r^2 \cdot \vec{E}=\frac{\frac{4\pi R^3}{3 } \rho }{{\epsilon_{0}}}$
$E=\frac{R^3\rho }{{3\epsilon_{0}r^2}}$

现在有一个均匀带电的球壳，总电量为 $Q$ ，球壳的半径是 $R$ ，球壳厚度可以忽略。我们想求出该球壳内部，距离球心为 $r$ 的 $M$ 处的电场( $r<R$ )。我们过该点，做半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)
(5) 均匀带电的薄球壳，内部场强为零。
(6) 均匀带电的薄球壳，内部场强不为零。
进而借助叠加原理思考：有厚度的空心带电球体，空腔里的场强为
(7) 零。
(8) 不一定。
则正确的是( )

解答：(1) （5）（7）

现在有一个均匀带电的球壳，总电量为 $Q$ ，球壳的半径是 $R$ ，球壳厚度可以忽略。我们想求出该球壳外部，距离球心为 $r$ 的 $N$ 处的电场( $r>R$ )。我们过该点，做半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)：均匀带电薄球壳的外部场强，( )等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
(5) 能
(6) 不能
进而借助叠加原理思考：有厚度的空心带电球体，球外的场强，( )等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
(7) 能
(8) 不能。
则正确的是( )

解答：（1）（5）（7）

现在有一个均匀带电的球体，总电量为 $Q$ ，球的半径是 $R$ 。我们想求出该球体外部，距离球心为 $r$ 的 $N$ 处的电场( $r>R$ )。我们过该点，做半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：
(1) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q}{\epsilon_{0}}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Qr}{\epsilon_{0}R}$
解出电场来，观察其规律可能为：(请理解、归纳、记忆)
(5) 均匀带电球体的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。

(6) 均匀带电球体的外部场强，不等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。

则正确的是( )

解答：（1）（5）

现在有一个均匀带电的球体，总电量为 $Q$ ，球的半径是 $R$ 。我们想求出该球体内部，距离球心为 $r$ 的 $M$ 处的电场( $r<R$ )。我们过该点，做半径为 $r$ 的同心球面作为高斯面。设该点电场大小为 $E$ ，则核心方程可能为：
(1) $内E\cdot4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{内}}}{\epsilon_{0}}$ , $内Q_{\text{内}}=\frac{Q}{\frac{4}{3}\pi R^{3}}\cdot\frac{4}{3}\pi r^{3}=Q\cdot(\frac{r}{R})^{3}$
(2) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{0}{\epsilon_{0}}$
(3) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r^{2}}{\epsilon_{0}R^{2}}$
(4) $E\cdot4\pi r^{2}=\frac{4r}{\epsilon_{0}R}$
结合以上求解过程知，均匀带电球体内部某场点的场强，可等效为( _ )集中到球心时产生的电场。(请理解、归纳、记忆)
(5) 所有电荷。
(6) 高斯面内所有电荷。
则正确的是( )

解答：
（1）（6）

组合带电体的场强请用叠加原理。在上面几道题中，我们总结归纳了几条直观经验，具体地：
(1) 均匀带电的薄球壳，内部场强为零。
(2) 均匀带电薄球壳的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
(3) 均匀带电球体的外部场强，等效为球心处放一个等电量的点电荷所产生的电场。
(4)均匀带电球体的内部某场点的场强，可等效为高斯面内所有电荷集中到球心时产生的电场。

所有无限长、均匀带电的细杆、空心圆筒、实心圆柱，以及由它们合成的各种“同轴”组合体，均叫做“圆柱型带电体”。请图示这类带电体的场强特征。

提示：距离轴线为 $r$ 的各点，场强的大小都相等，并且方向一定与轴线垂直。

小结

求电场有3种方法

$\color{red}{1. 矢量叠加 }$
$\color{red}{2. 求积分}$
$\color{red}{3.高斯定理 }$

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