题目
有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
基本思路
这个问题非常类似于01背包问题 ，所不同的是每种物品有无限件。也就是从每种物品的角度考虑，与它相关的策略已并非取或不取两种，而是有取0件、取1件、取2件……等很多种。如果仍然按照解01背包时的思路，令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值。仍然可以按照每种物品不同的策略写出状态转移方程，像这样：
f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}```
这跟01背包问题一样有```O(N*V)```个状态需要求解，但求解每个状态的时间已经不是常数了，求解状态```f[i][v]```的时间是```O(v/c[i])```，总的复杂度是超过```O(VN)```的。
将01背包问题的基本思路加以改进，得到了这样一个清晰的方法。这说明01背包问题的方程的确是很重要，可以推及其它类型的背包问题。但我们还是试图改进这个复杂度。
####一个简单有效的优化
完全背包问题有一个很简单有效的优化，是这样的：若两件物品```i```、```j```满足```c[i]<=c[j]```且```w[i]>=w[j]```，则将物品```j```去掉，不用考虑。这个优化的正确性显然：任何情况下都可将价值小费用高得```j```换成物美价廉的```i```，得到至少不会更差的方案。对于随机生成的数据，这个方法往往会大大减少物品的件数，从而加快速度。然而这个并不能改善最坏情况的复杂度，因为有可能特别设计的数据可以一件物品也去不掉。
<p>这个优化可以简单的```O(N^2)```地实现，一般都可以承受。另外，针对背包问题而言，比较不错的一种方法是：**[显然]首先将费用大于```V```的物品去掉，然后使用类似计数排序的做法，计算出费用相同的物品中价值最高的是哪个，可以```O(V+N)```地完成这个优化。**这个不太重要的过程就不给出伪代码了，希望你能独立思考写出伪代码或程序。
####转化为01背包问题求解
既然01背包问题是最基本的背包问题，那么我们可以考虑把完全背包问题转化为01背包问题来解。最简单的想法是，考虑到第i种物品最多选```V/c[i]```件，于是可以把第```i```种物品转化为```V/c[i]```件费用及价值均不变的物品，然后求解这个01背包问题。这样完全没有改进基本思路的时间复杂度，但这毕竟给了我们将完全背包问题转化为01背包问题的思路：将一种物品拆成多件物品。
<p>更高效的转化方法是：把第```i```种物品拆成费用为```c[i]*2^k```、价值为```w[i]*2^k```的若干件物品，其中```k```满足```c[i]*2^k<=V```。这是二进制的思想，因为不管最优策略选几件第```i```种物品，总可以表示成若干个```2^k```件物品的和。这样比把每种物品拆成```O(log(V/c[i]))```件物品，是一个很大的改进。
但我们有更优的```O(VN)```的算法。
#####O(VN)的算法
这个算法使用一维数组，先看伪代码：
for i=1..N
for v=0..V
f[v]=max{f[v],f[v-cost]+weight}你会发现，这个伪代码与[P01](http://www.jianshu.com/p/125553c9f526)的伪代码只有v的循环次序不同而已。为什么这样一改就可行呢？首先想想为什么P01中要按照v=V..0的逆序来循环。这是因为要保证第i次循环中的状态f[i][v]是由状态f[i-1][v-c[i]]递推而来。换句话说，这正是为了保证每件物品只选一次，保证在考虑“选入第i件物品”这件策略时，依据的是一个绝无已经选入第i件物品的子结果f[i-1][v-c[i]]。而现在完全背包的特点恰是每种物品可选无限件，所以在考虑“加选一件第i种物品”这种策略时，却正需要一个可能已选入第i种物品的子结果f[i][v-c[i]]，所以就可以并且必须采用v=0..V```的顺序循环。这就是这个简单的程序为何成立的道理。
<p>这个算法也可以以另外的思路得出。例如，基本思路中的状态转移方程可以等价地变形成这种形式：
f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i][v-c[i]]+w[i]}```
将这个方程用一维数组实现，便得到了上面的伪代码。
最后抽象出处理一件完全背包类物品的过程伪代码，以后会用到：
procedure CompletePack(cost,weight)
for v=cost..V
f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}```
总结
完全背包问题也是一个相当基础的背包问题，它有两个状态转移方程，分别在“基本思路”以及“O(VN)的算法“的小节中给出。希望你能够对这两个状态转移方程都仔细地体会，不仅记住，也要弄明白它们是怎么得出来的，最好能够自己想一种得到这些方程的方法。事实上，对每一道动态规划题目都思考其方程的意义以及如何得来，是加深对动态规划的理解、提高动态规划功力的好方法。
