数学｜牛顿迭代法

牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。

多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。牛顿迭代法使用函数的泰勒级数的前面几项来寻找方程的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。

上面的描述过于偏学术化，我们知道有些一元多次方程的最终解可能非常难求，如果直接求解的话，可能根本就没有解方程的办法，但是我们可以利用牛顿迭代法本质上可以求出方程的近似的一个或者多个解。
原理

我们设方程函数 $f(x) = m$ ,改方程可以转化为 $g(x) = f(x) - m = 0$ 我们只需要求出函数 $g(x) = 0$ 的解，就可以求出 $f(x) = 0$ 的解。

牛顿迭代公式

设 $r$ 是 $f(x) = 0$ 的根，选取 $x_0$ 作为 $r$ 的初始近似值，则我们可以过点 $(x_0,f(x_0))$ 做曲线 $y=f(x)$ 的切线 $L$ ,我们知道切线与 $x$ 轴有交点，我们已知切线 $L$ 的方程为 $y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$ 我们求的它与 $x$ 轴的交点为 $x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$ . 我们在以 $(x_1,f(x_1))$ 斜率为 $f'(x_1)$ 做斜线，求出与 $x$ 轴的交点，重复以上过程直到 $f(x_n)$ 无限接近于0即可。其中第n次的迭代公式为：