偏微分方程学习手记

1. 偏微分方程学习之路

1.1 学习偏微方程理论的方式

学习偏微分方程理论应该将其重点放在其应用层面,这是一个好的选择,也是逼不得已的事情.当然系统地研究出偏微分方程的理论并构成一个体系是当代许多数学家的梦想,但是从整个数学的发展脉络来看,数学家们的这个梦想一直不断地遭受挫折,虽然现在偏微分方程的理论的研究已经收获了不少理论,但是这门学科到底将构建成一个多大的体系,其学科的边界在哪里,这些问题依然是不清楚的,因此目前看来,企图彻底掌握偏微分方程理论的想法是没有办法实现的,偏微分方程的理论今天也在快速地发展,因此今天的偏微分方程理论学习者不应该将目光放得如此之大,不应该具有太大的野心,好的方式也许是去掌握某些已知的偏微分方程的理论,然后将置于应用科学的体系中,反过来推动整个偏微方程的理论的研究和发展.

1.2 偏微分方程理论学习的架构

偏微分方程的理论学习应该分阶段进行,在这个过程中不要忽视泛函分析等学科的力量.

初级课程
在这个阶段应掌握古典的偏微分方程的基础理论,方法和技巧,因为后续的高阶的理论几乎都得以此为起点并进行生长.
[1] 谷超豪. 偏微分方程概貌[M]. 科学技术文献出版社, 1989.
[2] 陈祖樨. 偏微分方程[M]. 高等教育出版社, 2008.
[3] 谷超豪等. 数学物理方程[M]. 高等教育出版社, 2002.
进阶课程
在这个阶段要重视广义函数,微分算子理论和 Fourier 分析.
[1] 齐民友, 吴方同. 广义函数与数学物理方程[M]. 高等教育出版社, 1999.
高级阶段
这个阶段不妨以微局部分析为起点.
进阶文章
[1] BREZIS H, BROWDER F. Partial Differential Equations in the 20th Century[J]. Advances in Mathematics, 1998, 135(1): 76–144.
[2] TORCHINSKY A. The Fourier Transform and the Wave Equation[J]. The American Mathematical Monthly, 2011, 118(7): 599–609.

偏微分方程概论

[5] 齐民友. 线性偏微分算子引论[M]. 科学出版社, 1986.

1. 函数方程和偏微分方程

什么是方程,这是一个迷惑人问题.不过在人们心中有一个初步的概念,但是要将其下一个精准的数学定义,人们却发现不是一个容易的事情.

我们称含有未知函数的方程为函数方程.

注意, 这个概况并不是十分精准,同时其也包含了太大的领域,我们知道,一个概念如果包含的对象太多,那么这个概念通常是没有什么用处的,因此我们仅形式上理解上面概念,不过一定要小心,这样概况的概念包含的研究对象实在是太多,现在含有许多函数方程的领域几乎都没有人涉足.
例设 $\Omega$ 为集,考虑函数方程
$f^n =1_{\Omega}$
其中 $f^n=f \circ f \circ \cdots \circ f$ 表示 $f$ 的 $n$ 次迭代.