1 题目描述
2 思路分析
3 解法
4 小结
1 题目描述
请编程实现矩阵乘法，并考虑当矩阵规模较大时的优化方法。
2 思路分析
根据wikipedia上的介绍：两个矩阵的乘法仅当第一个矩阵B的列数和另一个矩阵A的行数相等时才能定义。如A是m×n矩阵和B是n×p矩阵，它们的乘积AB是一个m×p矩阵，它的一个元素其中 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ p。
值得一提的是，矩阵乘法满足结合律和分配率，但并不满足交换律，如下图所示的这个例子，两个矩阵交换相乘后，结果变了：
3 解法
解法一、暴力解法
根据矩阵的性质，通过三个for循环，即可完成计算。其实，通过前面的分析，我们已经很明显的看出，两个具有相同维数的矩阵相乘，其复杂度为O（n^3）
//方法1：暴力解
//根据矩阵的性质i*j=i*n+n*j直接计算
public static void directCal(){
int [][]matrix1 = {{1,2},{3,4}};
int [][]matrix2 = {{4,5},{6,7}};
int [][]matrix3 = {{0,0},{0,0}};
int n = matrix1.length;
//计算
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
matrix3[i][j] = 0;
for (int k = 0; k < n; k++) {
matrix3[i][j]+= matrix1[i][k]*matrix2[k][j];
}
}
}
//输出结果
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
System.out.print(matrix3[i][j]+" ");
}
System.out.println();
}
}
解法二、Strassen算法
在解法一中，我们用了3个for循环搞定矩阵乘法，但当两个矩阵的维度变得很大时，O（n^3）的时间复杂度将会变得很大，于是，我们需要找到一种更优的解法。
一般说来，当数据量较大时，我们往往会把大的数据分割成小的数据，各个分别处理。遵此思路，如果给我们一个很大的两个矩阵呢，是否可以考虑分治的方法循序渐进处理各个小矩阵的相乘，因为我们知道一个矩阵是可以分成更多小的矩阵的。
如下图，当给定一个两个二维矩阵A B时：
这两个矩阵A B相乘时，我们发现在相乘的过程中，有8次乘法运算，4次加法运算：
矩阵乘法的复杂度主要就是体现在相乘上，而多一两次的加法并不会让复杂度上升太多。故此，我们思考，是否可以让矩阵乘法的运算过程中乘法的运算次数减少，从而达到降低矩阵乘法的复杂度呢？答案是肯定的。
1969年，德国的一位数学家Strassen证明O（N3）的解法并不是矩阵乘法的最优算法，他做了一系列工作使得最终的时间复杂度降低到了O(n2.80)。
他是怎么做到的呢？还是用上文A B两个矩阵相乘的例子，他定义了7个变量：
如此，Strassen算法的流程如下：
-
1 两个矩阵A B相乘时，将A, B, C分成相等大小的方块矩阵：
image.png
可以看出C是这么得来的：
现在定义7个新矩阵（读者可以思考下，这7个新矩阵是如何想到的）：
而最后的结果矩阵C 可以通过组合上述7个新矩阵得到：
表面上看，Strassen算法仅仅比通用矩阵相乘算法好一点，因为通用矩阵相乘算法时间复杂度是
而Strassen算法复杂度只是
但随着n的变大，比如当n >> 100时，Strassen算法是比通用矩阵相乘算法变得更有效率。
实验结果：
数据取600位上界，即超过10分钟跳出。可以看到使用Strassen算法时，耗时不但没有减少，反而剧烈增多，在n=700时计算时间就无法忍受。仔细研究后发现，采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势。于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当n<界限时，使用普通法计算矩阵，而不继续分治递归。
改进后算法优势明显，就算时间大幅下降。之后，针对不同大小的界限进行试验。在初步试验中发现，当数据规模小于1000时，下界S法的差别不大，规模大于1000以后，n取值越大，消耗时间下降。最优的界限值在32～128之间。
因为计算机每次运算时的系统环境不同（CPU占用、内存占用等），所以计算出的时间会有一定浮动。虽然这样，试验结果已经能得出结论Strassen算法比常规法优势明显。使用下界法改进后，在分治效率和动态分配内存间取舍，针对不同的数据规模稍加试验可以得到一个最优的界限。
4 小结：
1）采用Strassen算法作递归运算，需要创建大量的动态二维数组，其中分配堆内存空间将占用大量计算时间，从而掩盖了Strassen算法的优势
2）于是对Strassen算法做出改进，设定一个界限。当n<界限时，使用普通法计算矩阵，而不继续分治递归。需要合理设置界限，不同环境（硬件配置）下界限不同
3）矩阵乘法一般意义上还是选择的是朴素的方法，只有当矩阵变稠密，而且矩阵的阶数很大时，才会考虑使用Strassen算法。
看到分治法上面的求最大子数组，下午搞了3个小时，才算是把这个算法搞懂，总结下思路。
分治法的精髓就是：
1、分--将问题分解为规模更小的子问题；
2、治--将这些规模更小的子问题逐个击破；
3、合--将已解决的子问题合并，最终得出“母”问题的解；
ps：看不懂算法的时候，觉得这说的很扯，看不懂。明白了算法之后，觉得这真的是这个算法的精髓。
先举个小例子：
比如，我们需要计算{1，-2}这两个数组成的最大子数组，很简单，答案是1。
因为数字很少，所以我们一眼就能看出来，但是，如果用分治法的思想来求解这个问题，需要以下三步：
1、分：将数组分为1和-2两个元素，分的方法就是取中间位置的元素下标（low-0,mid((low+high)/2)-1,high-1），这里就是（0,0）（1,1）。
2、治：在（0,0）之间最大的元素（只有一个元素）是1，（1,1）最大的元素就是-2。两个相比，最大的元素就是1。
3、合：将（0,0）和（1,1）合起来为（0,1），就是1+-2 = -1。将合起来的结果于上面分的结果进行比较，保留最大的值的数组，即1（0,0）
所以，{1,-2}的最大子数组就是（0,0,1）
