最早的凯利公式是运用在赌博游戏中的，我们先看看赌博情形下凯利公式的特殊形式：

![][equtation]
[equtation]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?f=\frac{p_{win}*b-p_{loss}}{b}

其中Pwin表示胜率，Ploss=1-Pwin，b表示赌赢了的赔率（扣除本金后的收益/本金）。f表示单次下注占总资金的比例。
就是这个精巧简洁的公式，将信息论与赌博之间的本质联系揭露出来，告诉我们在有限了解的信息下，如何下注能使得资本增值的速度最大化。

一个简单的例子

假想一个赌博游戏。赢的概率是60%，输的概率40%。入场费随意交。如果赢了获得2倍的入场费金额（b=1），输则输掉入场费。小编有100元做本金，请问小编每次给多少入场费，若干次游戏后几何期望收益能最大？
答：f = （1×0.6-0.4）/1 = 0.2。
也就是说最佳的策略是每次投剩余本金的20%。
这块不难理解，带入公式就能算出来。

注意两点：

1.从概率的角度说，一个期望净收益为负的游戏是不值得参与的，凯利公式也完美的体现了这一点。还是上面的游戏，如果赢的概率40%，输的概率60%，那么，期望净收益就是（1×0.4-0.6）<0；求得的f为-0.2。
负数仓位意味着你有上中两策可以选。中策选择不下注，上策是诱骗别人来跟你下注。

2.赌博版凯利公式只有在稳赢（赢概率=100%）时才会支持押下全部本金，否则都是本金的一定比例。随着本金的减少，下的注也越来越少。如果没有交易费用，下注可无限分割，我们是亏不完的（留得青山在，不怕没柴烧）。
下图能更直观的看到凯利公式对仓位的控制：如果押注的比例限制在0和1之间，对应不同的胜率（Pwin）和赔率（b）时，f会在三维空间上形成一个曲面。这个曲面与f=0对应的平面相交的那条黑线就是期望为0所形成的曲线。

接下来我们在股票操作中构建一个类似上述的赌博模型，然后引入凯利公式。

把股票模型转换为赌博模型

下图来自《财富公式：玩转拉斯维加斯和华尔街的故事》，看看凯利的结果还不错嘛。

股票的假设和赌博有点不一样。股票是一个连续的过程，未来某一个时刻的收益率不是固定的一个值，而是一个分布。

那么我们怎么做？
怎么做可以发挥各种想象力，我们提供一个思路。
首先，在西方那一套理论中，往往用随机游走来描述股价的波动：

怎么把模型转换成与赌博模型类似的呢？方法有很多，这里来一个简单粗暴的。设置一个止盈价格和止损线，碰到了就出局。如果取对数后的股价服从随机游走假设，并且初始点是上沿和下沿的正中间，按照理论，先碰到上沿和先碰到下沿的概率是一样的。（忽略漂移项）。

但是在实际情况中呢，股价不是所有的时候都服从这个随机游走模型。股价先碰到上沿的概率会高于先碰到下沿的概率。比如说，突然出一个利好，财报公布后超预期，降准降息啦，或者单纯的资金面涌入造成短时间多空失衡，等等。
我们管这些事件，或者与这些事件同时发生的一些现象称为信号。比如说，降息的事件本身，就是一个信号。利好之前可能会有人提前知道偷偷买，造成股价跌不下去，这个该跌不跌就是一个信号。资金的涌入造成成交量放大，这个成交量放大也是一个信号。

上图表示事件对股价形成了影响，整体概率分布向上偏移，先碰到止盈的概率大于先碰到止损的概率。

交易所做的事情，就是这么一个寻找信号的过程，找到有效信号，意味着信号背后的事件会使股价的概率分布偏离，赢的期望变大。同时我们设置止盈止损线，这样赔率也就固定了下来。
由此我们就把投资股票的过程转换成一个连续赌博的过程。信号发出就是我们入场点。止盈止损发生的时候，就是我们的出场点。赔率和损失率就是止盈止损与入场价格之差。一次入场和出场就相当于赌博模型中的单次赌博，单次赌博的仓位由凯利公式确定。

前文的赌博公式中，赔一次会输掉押注的所有金额。而由于在股市中，我们不会一次性赔光本金，而是赔掉本金的一定比例。所以我们需要使用一般性的凯利公式：

![][equtation2]
[equtation2]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?f=\frac{p_{win}}{b}-\frac{p_{loss}}{c}

f：仓位比例
Pwin：赌赢的概率—股市上涨概率
Ploss：赌输的概率—股市下跌概率
b：赢钱率（资产从1增加到1+b）
c：损失率（资产从1减少到1-c）

假设我们找到了一个有效信号。并且根据历史上的统计，过去三年这个有效信号发生了1000次。以信号发出的价格为起点，在20%的正收益时止盈，在20%的负收益时止损。

那么在信号发出后，如果先触碰盈的次数570次，先触碰止损的次数430次（这里只是为了举例而做简化，实际中我们需要做更多的工作）。于是，我们就成功的把问题转换成了一个连续赌博的问题：有这么一种赌博，赢一次的赔率为20%，输一次的损失率为20%，赢率为57%

对应公式，有Pwin=0.57，Ploss=0.43，b=0.20，c=0.20
此时f=Pwin/c – Ploss/b = 0.57/0.20 – 0.43/0.20= 70%
也就是说，不管你现在剩余多少钱，应该买入剩余部分的70%的仓位。

接下来，我们用蒙特卡洛模拟的方法做一组测试，看看凯利公式是怎么发挥作用的。假设股票投机产生了T次信号。我们相应的按照上述参数随机生成胜率和赔率，做了T次投机。把这T次投机算成一组完整的投资过程，这样就会得到一个净值的序列。对于任意的T，我们将这个投资过程重复1000次，求净值的几何平数。
我们看看在不同的投机次数T下的效果：

T=100：