内容为《动态随机一般均衡(DSGE)模型》的笔记，李向阳老师著，清华大学出版社出版。

我只将个人会用到的知识作了笔记，并对教材较难理解的部分做了进一步阐述。为了更易于理解，我还对教材上的一些部分（包括代码和正文）做了修改。

仅供学习参考，请勿转载，侵删！

第3章 · Dynare基本应用(1)

本章将会介绍一个简单的RBC模型以显示“如何在Dynare中编写一个完整的模型文件”。

3.1 介绍一个简单的模型

(1) 数学建模

假设一个代表性家庭( $\text{Household}$ ，以后用上标 $^H$ 表示)选择 $C_t$ 和劳动 $L_t$ 来最大化其终身贴现效用：

$\max \limits_{C_t,L_t}E_0\sum_{t=0}^\infty\beta^t\frac{(C_t^\theta(1-L_t)^{1-\theta})^{1-\tau}}{1-\tau} \tag{3.1.1}$

其中 $\theta$ 和 $\tau$ 为参数，并且有 $1>\beta>0$ 为贴现因子。此效用函数表明消费和劳动不可分。最大化问题面临的资源约束为：

$C_t+I_t = \exp(Z_t) K_t^\alpha L_t^{1-\alpha} \tag{3.1.2}$

其中， $1>\alpha>0$ 为产出的资本份额， $I_t$ 为投资，资本存量 $K_t$ 遵循经典的积累方程：

$K_{t+1} = I_t + (1-\delta)K_t \tag{3.1.3}$

其中， $1>\delta>0$ 为折旧率参数。另外，还定义外生冲击 $Z_t$ 服从简单的 $AR(1)$ 过程：

$Z_t = \rho Z_{t-1} + s \epsilon_t, \ \epsilon_t \sim N(0,1) \tag{3.1.4}$

其中， $s>0$ 为扰动参数， $1>\rho>0$ 为外生冲击持续性参数，越接近于1，持续性越强。

(2) 模型求解

对问题 $(3.1.1)$ 及其面临的约束进行求解(对于离散的无穷贴现问题，统一采用 $\text{Lagrange}$ 方法求解，统一记 $\text{Lagrange Function}$ 为 $L$ )，可以得到关于 $C_t$ 和 $L_t$ 的 $\text{F.O.C}$ 为：

$\frac{(C_t ^\theta(1-L_t) ^{1-\theta})^{1-\tau}}{C_t} \\ = \beta E_t \left( \frac{(C_{t+1} ^\theta(1-L_{t+1}) ^{1-\theta})^{1-\tau}}{C_{t+1}}(1+\alpha\exp(Z_t) K_{t+1}^{\alpha-1} L_{t+1}^{1-\alpha} - \delta) \right) \tag{3.1.5}$

$\frac{1-\theta}{\theta} \frac{C_t}{1-L_t} = (1-\alpha)\exp(Z_t) K_t^\alpha L_t^{-\alpha} \tag{3.1.6}$

因此，模型的均衡由5个内生变量 $\{C_t,L_t,K_t,Z_t,I_t\}$ ，以及下面5个均衡方程构成：

Euler方程 $\frac{\partial L^H}{\partial C_t} = 0$ ： $(3.1.5)$
劳动供给方程 $\frac{\partial L^H}{\partial L_t} = 0$ ： $(3.1.6)$
资源约束方程： $(3.1.2)$
资本积累方程： $(3.1.3)$
技术变量的 $AR(1)$ 过程： $(3.1.4)$

3.2 Dynare内生变量的分类和书写规范

3.2.1 Dynare内生变量的分类

在Dynare中，内生变量根据时间下标被分成4类，如下表(3.1)所示：

内生变量类型	定义	内生变量个数存储位置
静态变量	仅仅出现时间下标 $t$	M._nstatic
前向变量	仅仅出现时间下标 $t$ 和 $t+1$	M._nfwrd
后向变量	仅仅出现时间下标 $t$ 和 $t-1$	M._npred
混合变量	同时出现 $t$ 、 $t+1$ 和 $t-1$	M._nboth

针对第3.1节的简单模型，可以观察均衡条件，并对模型变量 $\{C_t,L_t,K_t,Z_t\}$ 进行归类：

$C_t$ 和 $L_t$ 都仅出现了 $t$ 和 $t+1$ ，属于前向变量
$Z_t$ 属于标准的后向变量
$I_t$ 属于标准的静态变量
存量变量比较特殊：虽然存量变量出现了 $t$ 和 $t+1$ ，但存量变量是在 $t$ 期末被决定，故属于后向变量。所以在Dynare编程中， $K_{t+1}$ 和 $K_t$ 要写成 $K_t$ 和 $K_{t-1}$ （在3.1.2节会解释！）

按照效用函数的不同设定，在通常情况下，如果：

效用函数为 $C_t$ 和 $L_t$ 的可加可分函数时， $L_t$ 为静态变量
效用函数为 $C_t$ 和 $L_t$ 的不可分函数时， $L_t$ 为非静态变量
效用函数引入消费习惯的设定， $C_t$ 变为混合变量

一般而言，内生变量只能属于上述4种变量的其中一类，所以上述的分类是内生变量类型的一个完全划分。从而4种内生变量个数之和为整个模型所有内生变量个数（M._endo_nbr），即：

$\text{M._endo_nbr} \equiv \text{M._nstatic} + \text{M._nfwrd} + \text{M._npred} + \text{M._nboth}$

一般而言，模型中内生状态变量的个数（M._nspred）为后向变量和混合变量的个数之和：
$\text{M._nspred} \equiv \text{M._npred} + \text{M._nboth}$

此外，相对于静态变量而言，另外三者统称为动态变量（M._ndynamic），有：

$\text{M._ndynamic} \equiv \text{M._nfwrd} + \text{M._npred} + \text{M._nboth}$

关于本节关于变量的逻辑，可以归类在图3.1中：

3.1.2 Dynare内生变量的书写规范

(1) 命名规范

Dynare运行在Matlab以上，内生变量规范要遵循Matlab的命名规范，一般：

尽量不要使用Matlab和Dynare内置函数的名字作为变量
不要在变量或参数中包含特殊字符
Dynare对变量是大小写敏感的
尽量不要使用小写字母i，以免与Matlab的复数单位 $i$ 混淆

(2) 时间下标约定

在Dynare中，变量的下标是根据该变量的决定时期来确定的。一般来说， $t$ 期变量（流量变量）是由 $t-1$ 期的变量（内生和外生变量）和 $t$ 期初实现的外生冲击共同决定的。所以，从这个意义上说，存量变量(Stock Variables)在 $t$ 期末被决定，或者说在流量变量决定后再决定。一个经典的例子就是资本存量，根据：

$K_{t+1} = I_t + (1-\delta)K_t$

投资 $I_t$ 在 $t$ 期被决定，从而 $K_{t+1}$ 形式上虽然是 $t+1$ 期变量，本质上是 $t+1$ 期预先决定的变量，它是在 ${t}$ 期末就被决定的，因此也被写成：

$K_{t} = I_t + (1-\delta)K_{t-1}$

从而，时期 $t$ 可以虚拟地看成是由三部分构成：

初期：外生冲击实现
中期：当期变量决定
期末：存量变量决定

在Dynare编程中，对各种时间下标的语法见下表(3.2)：

变量形式	书写形式
$x_{t+2}$	x(+2),x(2)
$x_{t+1}$	x(+1),x(1)
$x$	x
$x_{t-1}$	x(-1)
$x_{t-2}$	x(-2)

只有极少数的情况下会出现 $t+2$ 或 $t-2$ 期的情况。如果出现，Dynare会自动引入辅助变量(Auxiliary Variables)，无需编程者操心。

3.2.3 Dynare内生变量的排序

在Dynare中，有两种内生变量的排序，用于不同的场合：

声明顺序：根据模型文件书写时 var 命令的先后次序排序，例如：

 var c k lab z I;

就表示内生变量按照 $C_t, K_t, L_t, Z_t,I_t$ 的顺序出存在 $\text{M._endo_names}$ 中

决策规则顺序：首先是静态变量，然后后向变量，然后混合变量，最后前向变量；同一种变量的排序按照声明顺序排列

3.3 Dynare文件基本结构

由于Dynare语法规则多，并且随着版本更新会删除和新增一些命令，教材只罗列了常用的语法规则。一般来说，一个模型文件(*.mod)由5个部分组成：

前导部分(Preamble)
模型声明部分(Model)
稳态值或初始值声明部分(Steady state or initial values)
外生冲击声明部分(Shocks)
模型计算部分(Computation)

下面会逐一讲解。

3.3.1 前导部分

这里主要完成模型声明的前期准备工作，包括3个部分：

内生变量声明(var命令)
外生变量声明(varexo命令)
参数声明(parameters命令)
参数赋值(直接赋值)

针对第一节的模型，对应模型文件的前导部分可以写成源代码9，为：

%----- 源代码9 -----%
var c k lab z I;    % 内生变量声明
varexo e;    % 外生变量声明
parameters beta theta delta alpha tau rho s;    % 参数声明
 
% 参数赋值
beta = 0.987;
theta = 0.357;
delta = 0.012;
alpha = 0.4;
tau = 2;
rho = 0.95;
s = 0.01;

前导部分的三个声明命令 var、varexo、parameters是可以在一个*.mod文件中反复使用的，这样可以提高模型文件的可读性。Dyanre会自动处理，无需编者操心。

3.3.2 模型部分

在结束前面的前导部分声明后，即可声明模型部分，即模型的各个均衡条件。模型部分以model;开始，以end;结束，在两个命令之间输入均衡条件，每个均衡条件以;结束。均衡条件太长时，可以跨行书写。

例如，对3.1节的RBC模型书写模型部分，如 $源代码10$ 所示：

%----- 源代码10 -----%
model;
% 定义模型的“局部变量”，以提高编程的便利性
# mar_c = (c^theta * (1-lab)^(1-theta) ) ^ (1-tau);    % 局部变量的声明使用“#”命令
# mar_c1 = (c(+1)^theta * (1-lab(+1))^(1-theta) ) ^ (1-tau);

% (1) 欧拉方程
[name = 'Euler equation']    % 这是系统标签(tag)，可以对每个均衡条件进行标识
mar_c/c = beta * (mar_c1/c(+1)) * (1 + alpha*exp(z)*k^(alpha-1)*lab(+1)^(1-alpha) - delta);

% (2) 劳动供给方程
[name = 'Labor supply']
((1-theta)/theta) * (c/(1-lab)) = (1-alpha)*exp(z)*k(-1)^alpha*lab^(-alpha);

% (3) 资源约束方程
[name = 'Resource constraint']
c + k - (1-delta)*k(-1) = exp(z)*k(-1)^alpha*lab^(1-alpha);

% (4) 资本积累方程
[name = 'Capital accumulation']
I = k - (1-delta)*k(-1);

% (5) 外生冲击AR(1)过程
[name = 'Technology shock']
z = rho*z(-1) + s*e;
end;

对以上的代码我们需要注意：

为了提高程序的可读性，建议在每个均衡方程的前面添加注释和编号，可以以%或//开头表示单行注释
可以使用系统标签(tag)对均衡条件进行标识，从而在后续进行稳态的计算和调试时，resid命令能够显示出该标签的编号。
使用#命令定义局部变量，可以提高程序的易读性，在后续使用局部变量时不需要再使用#。局部变量在本质上唯一的作用就是本文替换(Text Substitution)

此外，我们需要注意，命令model;拥有8个选项，最常用的是linear选项，使用方法是model(linear);。如果使用了linear命令，模型被声明为线型，此时均衡条件必须是手动线性化后的结果。同时，由于已经是线性化模型，稳态值本身就是0，不需要额外指定。

3.3.3 稳态或初值部分/外生冲击部分

稳态值和初值的声明是Dynare采用扰动算法的基本要求。初值声明的目的是为了让Dynare从这里开始寻找稳态值。关于稳态和初值声明会在“3.8.2 稳态求解命令：steady”中介绍；外生冲击则会在“3.8.3 确定性模拟”中详细介绍。这里仅介绍随机模拟的情况，确定性模拟会复杂一些。源代码11介绍了如何简单地设定初始值、外生冲击的方差，计算稳态的同时计算各静态方程的残差，此时各内生变量取值稳态。

%----- 源代码11 -----%
initval;    % 初值模块，设定内生变量和外生变量的初始值
k = 0.5;
c = 0.5;
lab = 0.5;    
z = 0;
I = 0.5;
e = 0;
end;

shocks;    % 外生冲击设定，直接设定外生冲击的方差
var e = s^2;
end;

steady;    % 计算稳态
resid;    % 给定内生变量的取值（通常为稳态），计算均衡条件对应的静态方程的残差

理论上初值的设置是很宽泛的，但是如果输入某些特殊值会使得Dyanre求解稳态的时候“走错方向”，找到错误的稳态。比如初始化k=0的时候，Dynare就找不到稳态值了。从而，设置初值的时候尽量不要选择特殊的数字。

比较建议的是，如果稳态具有解析解，则把解析解直接写入*.mod文件中作为稳态值（后面会这么做的），这样一方面避免了出现无解的情况，另一方面节省计算成本。

3.3.4 计算部分

计算部分是模型最核心的部分之一，也是最复杂的地方。所谓计算，就是在各参数已知的情况下求解抉择规则，常用的有3个命令：

确定性模拟(simul)：在“3.8.3 确定性模拟”中介绍
随机模拟(stoch_simul)：在“3.9 随机模拟分析：stoch_simul”中介绍
估计(estimation)：在“3.10 参数估计简介”中介绍

三种不同的计算命令各有区别。粗略地说，simul 和 stoch_simul 是用于模拟外生冲击而言的。确定性模拟是指外生冲击的发生时刻和大小都已经预先知晓的模拟；随机模拟是指发生冲击的时刻或大小都是随机的模拟。而 estimation 是根据观测或统计数据，首先使用估计技术估计未知参数，然后使用估计后的参数进行随机模拟。

下面的源代码12展示了随机模拟命令 stoch_simul 及其3个常用的选项，然后将Dynare内置命令将模拟结果保存为自定义名称的Matlab矩阵文件(*.mat)。

%----- 源代码12 -----%
% 如果不指定模拟的次数“periods”，Dynare就不会进行模拟
stoch_simul(periods=1000, irf=400, order=1);

% 将模拟结果保存为“simudata.mat”文件
dynasave('simudata.mat');

在上面的代码中，我们应该注意：

选项periods：用于指定随机模拟的期数
选项irf：用于指定脉冲响应的计算期数
选项order：用于指定求解的阶数，有1``2``3三个选项

所以，这里的随机模拟命令的含义是，使用线性求解算法（order=1）求解模型，并模拟1000期内变量的样本，计算400期脉冲响应函数。

将以上的源代码9到源代码12拼接起来，就是一个完整的Dynare模型文件：

/*
 * 《动态随机一般均衡(DSGE)模型》教材
 * 源代码9～源代码12整合，与教材上代码略有改编
 * 2020年3月12日
 * @爱吃汉堡薯条
 * @侵删
 */
%----- 源代码9 -----%
var c k lab z I;    % 内生变量声明
varexo e;    % 外生变量声明
parameters beta theta delta alpha tau rho s;    % 参数声明
 
% 参数赋值
beta = 0.987;
theta = 0.357;
delta = 0.012;
alpha = 0.4;
tau = 2;
rho = 0.95;
s = 0.01;   

%----- 源代码10 -----%
model;
% 定义模型的“局部变量”，以提高编程的便利性
# mar_c = (c^theta * (1-lab)^(1-theta) ) ^ (1-tau);    % 局部变量的声明使用“#”命令
# mar_c1 = (c(+1)^theta * (1-lab(+1))^(1-theta) ) ^ (1-tau);

% (1) 欧拉方程
[name = 'Euler equation']    % 这是系统标签(tag)，可以对每个均衡条件进行标识
mar_c/c = beta * (mar_c1/c(+1)) * (1 + alpha*exp(z)*k^(alpha-1)*lab(+1)^(1-alpha) - delta);

% (2) 劳动供给方程
[name = 'Labor supply']
((1-theta)/theta) * (c/(1-lab)) = (1-alpha)*exp(z)*k(-1)^alpha*lab^(-alpha);

% (3) 资源约束方程
[name = 'Resource constraint']
c + k - (1-delta)*k(-1) = exp(z)*k(-1)^alpha*lab^(1-alpha);

% (4) 资本积累方程
[name = 'Capital accumulation']
I = k - (1-delta)*k(-1);

% (5) 外生冲击AR(1)过程
[name = 'Technology shock']
z = rho*z(-1) + s*e;
end;

%----- 源代码11 -----%
initval;    % 初值模块，设定内生变量和外生变量的初始值
k = 0.5;
c = 0.5;
lab = 0.5;    
z = 0;
I = 0.5;
e = 0;
end;

shocks;    % 外生冲击设定，直接设定外生冲击的方差
var e = s^2;
end;

steady;    % 计算稳态
resid;    % 给定内生变量的取值（通常为稳态），计算均衡条件对应的静态方程的残差

%----- 源代码12 -----%
% 如果不指定模拟的次数“periods”，Dynare就不会进行模拟
stoch_simul(periods=1000, irf=400, order=1);

% 将模拟结果保存为“simudata.mat”文件
dynasave('simudata.mat');

执行模型文件，输出脉冲响应图像：

上述模型文件的IRF图像

DSGE笔记系列1：Dynare基本应用(1)