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杨辉三角 的算法实现

杨辉三角形是排列成三角形的一系列数字。 在杨辉三角形中，每一行的最左边和最右边的数字总是 1。 对于其余的每个数字都是前一行中直接位于它上面的两个数字之和。

下面给出一个5行的杨辉三角：

yanghuiTrangle

基本情况

可以看到，每行的最左边和最右边的数字是基本情况，在这个问题中，它总是等于 1。
因此，我们可以将基本情况定义如下:

f(i,j) = 1 where j=1 or j=i

递推关系

让我们从杨辉三角形内的递推关系开始。
首先，我们定义一个函数 f(i, j)它将会返回杨辉三角形第 i 行、第 j 列的数字。

我们可以用下面的公式来表示这一递推关系：

f(i,j)=f(i−1,j−1)+f(i−1,j)

java 实现

给定一个非负整数 numRows，生成杨辉三角的前 numRows 行。

示例:

输入: 5
输出:
[
     [1],
    [1,1],
   [1,2,1],
  [1,3,3,1],
 [1,4,6,4,1]
]

方法一 迭代实现

public List<List<Integer> generateTrangle(int numRows){
    List<List<Integer>> list = new ArrayList<>();
    for(int i=0;i<numRows;i++){
        List<Integer> subList = new ArrayList<>();
        list.add(subList);
        for(int j=0;j<i+1;j++){
            f(j==i||j==0){//每行的最左边和最右边的数字都是1
                subList.add(1);
            }else{
                //递推关系
                subList.add((list.get(i-1).get(j-1)+list.get(i-1).get(j)));
            }
        }
    }
    return list;
}

方法二 递归实现

public List<List<Integer>> generateTriangleByRecursive(int numRow) {
    List<List<Integer>> list = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < numRow; i++) {
      List<Integer> subList = new ArrayList<>();
      for (int j = 0; j < i + 1; j++) {
        subList.add(generate_Triangle_by_recursive(i, j));
      }
      list.add(subList);
    }
    return list;
}

private int generate_Triangle_by_recursive(int i, int j) {
    int result;
    if (j == 0 || j == i) {
      result = 1;
    } else {
      result =
          (generate_Triangle_by_recursive(i - 1, j - 1) + generate_Triangle_by_recursive(
              i - 1, j));
    }
    return result;
  }

在上面的例子中，您可能已经注意到递归解决方案可能会导致一些重复的计算，例如，我们重复计算相同的中间数以获得最后一行中的数字。 举例说明，为了得到 f(5, 3) 的结果，我们在 f(4, 2) 和 f(4, 3) 的调用中计算了 f(3, 2) 两次。下面我们优化递归算法

方法三 递归+记忆化

 public List<List<Integer>> generateTriangleByRecursive(int numRow) {
    List<List<Integer>> list = new ArrayList<>();
    Map<Integer, Map<Integer, Integer>> cacheMap = new HashMap<>();
    for (int i = 0; i < numRow; i++) {
      List<Integer> subList = new ArrayList<>();
      for (int j = 0; j < i + 1; j++) {
        subList.add(generate_Triangle_by_recursive(i, j, cacheMap));
      }
      list.add(subList);
    }
    return list;
  }

  private int generate_Triangle_by_recursive(int i, int j,
      Map<Integer, Map<Integer, Integer>> cacheMap) {
    if (cacheMap.containsKey(i) && cacheMap.get(i).containsKey(j)) {
      return cacheMap.get(i).get(j);
    }
    int result;
    if (j == 0 || j == i) {
      result = 1;
    } else {
      result =
          (generate_Triangle_by_recursive(i - 1, j - 1, cacheMap) + generate_Triangle_by_recursive(
              i - 1, j, cacheMap));
    }
    if (!cacheMap.containsKey(i)) {
      Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
      cacheMap.put(i, map);
    }
    cacheMap.get(i).put(j, result);
    return result;
  }

拓展算法

给定一个非负索引 k，其中 k ≤ 33，返回杨辉三角的第 k 行。

示例:

输入: 3
输出: [1,3,3,1]

public List<Integer> getRow(int rowIndex) {
    List<List<Integer>> list = new ArrayList<>();
        for(int i=0;i<rowIndex+1;i++){
            List<Integer> subList = new ArrayList<>();
            list.add(subList);
            for(int j=0;j<i+1;j++){
                if(j==i||j==0){//first and end 
                    subList.add(1);
                }else{
                   subList.add((list.get(i-1).get(j-1)+list.get(i-1).get(j)));
                }
            }
        }
    return list.get(rowIndex);
}