映射与函数

映射: 存在两个非空集合X和Y，如果集合X中每个元素x，按照法则f(x)在集合Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为集合X到集合Y的映射。记作：

f:X→Y

y称作元素x在映射f下的像，记作:

y=f(x)

注意

映射的三要素：1.定义域。2.值域。3.法则。在对应法则下，定义域中每个元素 x 在 Y 中有唯一确定的 y 与之对应。

在映射 f 下，x 的像 y 是唯一确定的，而对于值域 Y 中的每个 y 的原像 x 不一定是唯一的

y的原像x可以有多个

x不可以一对多

满射：f是X到Y的映射，Y 中任一元素y都是 X中 x 的某个元素中的像，则称f为 X 到 Y 上的满射

若 X 中任意两个不同元素 x1 ≠ x2，他们的像 f (x1 )≠ f (x2)，则称 f 为 X 到 Y 的单射。

若映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为一一映射。

映射又称为算子，从非空集合 X 到数集 Y 的映射又称为 X 的泛函。

从实数集到实数集的映射，通常称为定义在 X 上的函数。

y=f(x) , x $\in$ D , x 为自变量，y 为因变量， D 称为定义域

在函数定义中，对于每个x $\in$ D，按照对应法则总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x)。

函数是实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此两个函数的定义域 D 相同对应法则 f 也相同，那么两个函数就是相同的，否则就是不同的。

函数 y= $\sqrt{1-x²}$ 的定义域是闭区间 $\sqsubset-1，1 \sqsupset$ ，函数 y= $\frac{1}{\sqrt[]{1-x²} }$ 的定义域是开区间 $\subset-1,1 \supset$ 。

函数的有界性

函数的单调性

函数的奇偶性

函数的周期性

如果一个函数f(x)的定义域为D，存在一个正数l使得，x+l $\in$ D,使f(x+l)=f(x)成立 , 则称函数具有周期性，l 为函数的周期。我通常说的函数的周期通常为最小正周期。