【转载】最大似然估计

转载自 最大似然估计(通俗易懂)

一、例子1

最大似然估计是建立在这样的思想上:已知某个参数能使这个样本出现的概率最大,我们就不再去选择其他小概率的参数,所以干脆就把这个参数作为估计的真实值。

最大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法,即:“模型已定,参数未知”。简单而言,假设我们要统计全国人口的身高,首先假设这个身高服从服从正态分布,但是该分布的均值与方差未知。我们没有人力与物力去统计全国每个人的身高,但是可以通过采样,获取部分人的身高,然后通过最大似然估计来获取上述假设中的正态分布的均值与方差。

最大似然估计中采样需满足一个很重要的假设,就是所有的采样都是独立同分布的。下面我们具体描述一下最大似然估计:

首先,假设

为独立同分布的采样,θ为模型参数,f为我们所使用的模型,遵循我们上述的独立同分布假设。参数为θ的模型f产生上述采样可表示为

回到上面的“模型已定,参数未知”的说法,此时,我们已知的为

,未知为θ,故似然定义为:

在实际应用中常用的是两边取对数,得到公式如下:

其中

称为对数似然,而

称为平均对数似然。而我们平时所称的最大似然为最大的对数平均似然,即:

二、例子2

举个别人博客中的例子,假如有一个罐子,里面有黑白两种颜色的球,数目多少不知,两种颜色的比例也不知。我 们想知道罐中白球和黑球的比例,但我们不能把罐中的球全部拿出来数。现在我们可以每次任意从已经摇匀的罐中拿一个球出来,记录球的颜色,然后把拿出来的球 再放回罐中。这个过程可以重复,我们可以用记录的球的颜色来估计罐中黑白球的比例。假如在前面的一百次重复记录中,有七十次是白球,请问罐中白球所占的比例最有可能是多少?很多人马上就有答案了:70%。而其后的理论支撑是什么呢?

我们假设罐中白球的比例是p,那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来,在记录颜色之后,我们把抽出的球放回了罐中并摇匀,所以每次抽出来的球的颜 色服从同一独立分布。这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中,七十次是白球的概率是P(Data | M),这里Data是所有的数据,M是所给出的模型,表示每次抽出来的球是白色的概率为p。如果第一抽样的结果记为x1,第二抽样的结果记为x2...那么Data = (x1,x2,…,x100)。这样,

P(Data | M)

= P(x1,x2,…,x100|M)

= P(x1|M)P(x2|M)…P(x100|M)

= p^70(1-p)^30.

那么p在取什么值的时候,P(Data |M)的值最大呢?将p^70(1-p)^30对p求导,并其等于零。

70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。

解方程可以得到p=0.7。

在边界点p=0,1,P(Data|M)=0。所以当p=0.7时,P(Data|M)的值最大。这和我们常识中按抽样中的比例来计算的结果是一样的。

假如我们有一组连续变量的采样值(x1,x2,…,xn),我们知道这组数据服从正态分布,标准差已知。请问这个正态分布的期望值为多少时,产生这个已有数据的概率最大?

P(Data | M) = ?

根据公式

可得:

对μ求导可得

,则最大似然估计的结果为μ=(x1+x2+…+xn)/n

由上可知最大似然估计的一般求解过程:

(1) 写出似然函数;

(2) 对似然函数取对数,并整理;

(3) 求导数 ;

(4) 解似然方程

注意:最大似然估计只考虑某个模型能产生某个给定观察序列的概率。而未考虑该模型本身的概率。这点与贝叶斯估计有区别。

最后编辑于
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
  • 序言:七十年代末,一起剥皮案震惊了整个滨河市,随后出现的几起案子,更是在滨河造成了极大的恐慌,老刑警刘岩,带你破解...
    沈念sama阅读 223,126评论 6 520
  • 序言:滨河连续发生了三起死亡事件,死亡现场离奇诡异,居然都是意外死亡,警方通过查阅死者的电脑和手机,发现死者居然都...
    沈念sama阅读 95,421评论 3 400
  • 文/潘晓璐 我一进店门,熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来,“玉大人,你说我怎么就摊上这事。” “怎么了?”我有些...
    开封第一讲书人阅读 169,941评论 0 366
  • 文/不坏的土叔 我叫张陵,是天一观的道长。 经常有香客问我,道长,这世上最难降的妖魔是什么? 我笑而不...
    开封第一讲书人阅读 60,294评论 1 300
  • 正文 为了忘掉前任,我火速办了婚礼,结果婚礼上,老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己,他们只是感情好,可当我...
    茶点故事阅读 69,295评论 6 398
  • 文/花漫 我一把揭开白布。 她就那样静静地躺着,像睡着了一般。 火红的嫁衣衬着肌肤如雪。 梳的纹丝不乱的头发上,一...
    开封第一讲书人阅读 52,874评论 1 314
  • 那天,我揣着相机与录音,去河边找鬼。 笑死,一个胖子当着我的面吹牛,可吹牛的内容都是我干的。 我是一名探鬼主播,决...
    沈念sama阅读 41,285评论 3 424
  • 文/苍兰香墨 我猛地睁开眼,长吁一口气:“原来是场噩梦啊……” “哼!你这毒妇竟也来了?” 一声冷哼从身侧响起,我...
    开封第一讲书人阅读 40,249评论 0 277
  • 序言:老挝万荣一对情侣失踪,失踪者是张志新(化名)和其女友刘颖,没想到半个月后,有当地人在树林里发现了一具尸体,经...
    沈念sama阅读 46,760评论 1 321
  • 正文 独居荒郊野岭守林人离奇死亡,尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋 以下内容为张勋视角 年9月15日...
    茶点故事阅读 38,840评论 3 343
  • 正文 我和宋清朗相恋三年,在试婚纱的时候发现自己被绿了。 大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
    茶点故事阅读 40,973评论 1 354
  • 序言:一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡,死状恐怖,灵堂内的尸体忽然破棺而出,到底是诈尸还是另有隐情,我是刑警宁泽,带...
    沈念sama阅读 36,631评论 5 351
  • 正文 年R本政府宣布,位于F岛的核电站,受9级特大地震影响,放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜,却给世界环境...
    茶点故事阅读 42,315评论 3 336
  • 文/蒙蒙 一、第九天 我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。 院中可真热闹,春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
    开封第一讲书人阅读 32,797评论 0 25
  • 文/苍兰香墨 我抬头看了看天上的太阳。三九已至,却和暖如春,着一层夹袄步出监牢的瞬间,已是汗流浃背。 一阵脚步声响...
    开封第一讲书人阅读 33,926评论 1 275
  • 我被黑心中介骗来泰国打工, 没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留,地道东北人。 一个月前我还...
    沈念sama阅读 49,431评论 3 379
  • 正文 我出身青楼,却偏偏与公主长得像,于是被迫代替她去往敌国和亲。 传闻我的和亲对象是个残疾皇子,可洞房花烛夜当晚...
    茶点故事阅读 45,982评论 2 361

推荐阅读更多精彩内容

  • 来源: http://www.douban.com/group/topic/14820131/ 调整变量格式: f...
    MC1229阅读 6,925评论 0 5
  • (转自http://www.douban.com/group/topic/14820131/,转自人大论坛) 调整...
    f382b3d9bdb3阅读 10,606评论 0 8
  • 转载 http://blog.csdn.net/zouxy09 EM算法是一种迭代算法,用于含有隐含变量的概率模型...
    Jlan阅读 2,160评论 1 13
  • 我感觉很富有,抽爸爸抽不起的烟。 我感觉很富有,坐父母舍不得坐的车。 我感觉很富有,出入父母不愿去的场所。 我感觉...
    凡夫俗子y阅读 207评论 4 6
  • 毕业那一年,好多同学都许下了誓言,他们说,一定要记得我,要常联系,没事的话就来到我的城市看看,我带你逛逛新的风景。...
    温如夏阅读 328评论 2 4